想像宇宙中是否有個地方重力非常強大，強大到沒有任何東西，包含粒子、電磁波，甚至連光都不能逃脫－「黑洞（Black Hole）」－廣義相對論所預言的一種非常特殊的緻密天體，由於恆星死亡後核心造成時空坍塌，質量緊密到強烈扭曲了時空，形成密度無限大、時空曲率無限小的「奇點（Singularity）」，強大的重力將吞噬鄰近區域所有物質，在不能超過光速的限制下，一旦掉入黑洞的邊界「事件視界（Event Horizon）」就永遠逃出不來了。
【M87超大質量黑洞】
西元2019年四月10日，由事件視界望遠鏡（Event Horizon Telescope；EHT）成像發表M87超大質量黑洞照片，成為人類歷史上第一張黑洞觀測的天文影像，證實了黑洞的存在。EHT以甚長基線干涉技術（VLBI），協調世界各地的電波望遠鏡同步觀測、記錄數據，結合成一座口徑等效於地球直徑的「虛擬望遠鏡」大幅提升解析能力，才終於看到了隱藏在星系中心的黑洞結構。由於連光都無法逃脫，不能直接看到黑洞本身導致天文觀測困難，然而，對於黑洞的預言卻可追溯至1915年。
若以地球為中心向四面八方作觀測，我們能夠看到的宇宙就稱為「可觀測宇宙（Observable Universe）」，不難想像這是一個球體空間，而球面邊緣地帶即為我們觀測宇宙的最遠距離，如何定義此距離必須考慮「光速有限」。由於超出可觀測宇宙之外的區域過於遙遠，以至從大爆炸以來發出的光線，或其他以光速傳播的物理量等信息（如引力波。以下皆以光子為代表）未能有足夠的時間到達地球而導致無法被觀測到。
【目前可觀測宇宙的範圍】
廣義相對論闡述了物質之間相互作用不能超過光速，所以可觀測宇宙之外的宇宙，將和我們不會有任何在物理上連絡信息的可能，可觀測宇宙之內的範圍是人類所能探測宇宙的極限，即使這只是真實宇宙的一小部分。可觀測宇宙是「膨脹宇宙」中相對任一觀測中心的一種區域定義，換句話說，無限大宇宙的可能性是存在的。
宇宙中觀測到光的紅移效應之成因，依物理學理論可分成「都卜勒紅移」、「宇宙學紅移」、「重力紅移」三種：都卜勒紅移即是光源遠離觀測者時的都卜勒效應；宇宙學紅移其機制為空間度規膨脹，是大霹靂宇宙膨脹理論的觀測證據；重力紅移（Gravitational Redshift）為光從重力場源（如太陽、黑洞等巨大星體）遠離時，會發生波長拉長、頻率縮短的現象，即該光譜的譜線整體會往紅光波段端偏移。古典力學分析，無質量的光不會受到重力影響，然而愛因斯坦卻依據廣義相對論導出了光遠離重力場源時會紅移，此即「重力紅移」現象，與「水星近日點進動」、「重力透鏡效應」成為廣義相對論的三大預言。
【光遠離星球之重力紅移效應】
西元1882年，加拿大天文學家紐康（Simon Newcomb）重新測定水星近日點進動率偏差值為每世紀43弧秒，此觀測結果與愛因斯坦在1915年依據廣義相對論所計算的數值吻合，而光行經太陽周圍的重力偏折角度1.7弧秒的計算，也由英國天文學家愛丁頓爵士（Sir Arthur Eddington）在1919年五月29日的日全食觀測數據得到驗證。至於驗證重力紅移預言的實驗，則要等到1959年才由物理學家龐德（Robert Pound）和雷布卡（Glen Rebka Jr.）在哈佛大學的實驗室中完成，此時已是愛因斯坦逝世之後第4年。
重力透鏡效應（Gravitational Lensing）為光行經強力重力場源（如星系、星團、黑洞等天體）附近時，將會發生彎曲而偏折的現象，宛如通過光學透鏡折射而聚焦。若遠方星星發出的光經過偏折後射向地球，我們將會發現遠方星星的位置有了改變而形成虛像，甚至能觀測到不同位置光點皆為同一天體所發出的「愛因斯坦十字架」特殊景像。古典力學分析，無質量的光不會受到重力影響，然而愛因斯坦卻依據廣義相對論導出了光會偏折的預言，成為廣義相對論能發揚近代物理學的重要論證之一。
【愛因斯坦十字架（QSO 2237+030）】
為了驗證廣義相對論，英國皇家學會天文學家愛丁頓爵士（Sir Arthur Eddington）組建一支科研考察隊，來到非洲西海岸外的一座偏僻小島「普林西比島（Principe）」，觀測於西元1919年五月29日所發生的日全食。因為遮蔽太陽主體可過濾陽光多餘干擾，所以能準確觀測背景光源受到太陽重力場產生偏折的影響程度，1919年的日全食觀測首次得到了廣義義相對論所預言的數值，爾後在1922年、1953年、1973年的日蝕也重複觀測得出同樣的結果。直到1980年，天文學家才第一次正式觀測到天體的重力透鏡效應，QSO 0957+561發出的光經過前方星系的重力場影響而彎曲，形成了A、B兩個一模一樣的類星體的像。
進動（Precession）為作旋轉運動之物體其旋轉軸又繞著另一軸旋轉的現象，如原地打轉的陀螺若稍有偏斜，它的「自轉軸」也會開始旋轉擺動。在太陽系中，行星繞著太陽公轉也是一種旋轉運動，公轉軌道呈現一橢圓軌跡，但實際上此公轉軌道並非固定，其橢圓亦會「旋轉」而形成進動。當行星和太陽最接近時稱為「近日點」，因為橢圓公轉軌道的旋轉，於是也有「行星近日點進動」的現象產生。由古典牛頓力學分析，造成行星近日點進動最主要是受到其他行星引力的拉扯，這是很理所當然的原因。另外，太陽的扁橢球體形狀也會產生太陽引力的不對稱，但這對行星近日點進動的影響是微乎其微。
【地球繞太陽公轉軌道之進動】
十六世紀之後隨著觀測技術的發展進步及天文學家的努力不懈，天文學界留下了大量又準確的觀測數據。西元1859年，法國天文學家勒維耶（Urbain Le Verrier，海王星的預言者）分析了從1697～1848年水星凌日的時間記錄，發現並計算出水星近日點進動的觀測值，比由古典牛頓力學算得的理論值，每一百年相差了38弧秒。1882年，加拿大天文學家紐康（Simon Newcomb）重新測定水星近日點進動率偏差值為每世紀43弧秒。
廣義相對論（General Relativity）預言，當質量處於轉動狀態時會對時空造成拖曳和扭曲，此現象可以想像成一浸在水中的旋轉球對周圍流體產生的擾流現象。ＮＡＳＡ在西元2004年發射了一顆科學探測衛星－重力探測器Ｂ（Gravity Probe B；GP-B），這個任務實驗的目的是測量地球自轉周圍時空曲率。GP-B在地球的極軌道上持續公轉，利用衛星上高精密度的陀螺儀來精確測量角動量的細微變化，證明了地球重力場中的時空扭曲與廣義相對論效應。關於重力探測器Ｂ實驗的計畫與任務細節可至ＮＡＳＡ官網－Gravity Probe B:The Relativity Mission 。
【Gravity Probe B任務實驗示意圖】
廣義相對論對質量影響時空扭曲現象的描述，是以「愛因斯坦重力場方程式」來表達。雖然愛因斯坦方程式的形式看起來很簡單，但實際上它是一組「能量－動量張量」方程式，不僅包含二階非線性微分方程式的複雜計算，還需要應用張量難解的數學技巧，這一般多少都會在直觀上的理解產生阻礙。「重力電磁性理論（Gravitoelectromagnetism；GEM）」則是探討轉動質量對周圍時空影響的一套類比理論，於西元1893年由Oliver Heaviside建立，雖然早於相對論，但其基礎框架仍可沿用到1915年發表的廣義相對論及以其為基礎發展的重力磁性理論之中。
Covariance and Contravariance describe how the quantitative description of certain geometric or physical entities changes with a change of basis. They are the mathematical foundation to understand General Relativity.
【James Joseph Sylvester（1814－1897）】
The terms Covariant and Contravariant were introduced by James Joseph Sylvester in 1853 to study algebraic invariant theory. Now they are extensive using in Tensor Field analysis of mathematics, physics, and engineering, even in General Relativity. In order to understand what Covariance and Contravariance are in a vector space, in the beginning, a vector can be written as
Physics derive: OB Tsai Write & Edit: BMC
The study of the motion is an ancient one, making Classical Mechanics one of the oldest and largest subjects in physics. It is also widely known as Newtonian Mechanics. The initial development of Classical Mechanics is often referred to as Newtonian Mechanics, with the mathematical methods invented by Isaac Newton. The most famous equation is known as Newton's Second Law of Motion.
【Isaac Newton（1643－1727）】
《海島算經》為中國古代數學家劉徽的傑出作品。利用勾股形（直角三角形）的比率算法原理，使用矩（彎曲成直角的尺）、表（垂直入地的量杆）等測量工具創造出「重差術」。《海島算經》使古代中國的測量學方法達到完善與巔峰，並廣為運用在地圖繪製技術的理論發展，曾有美國數學家讚譽「中國在測量學的成就上超越了西方一千年」，貢獻非常卓越。
【《海島算經》第一頁（清乾隆《四庫全書》版本）】
劉徽（約西元225～295年），三國時代魏晉數學家，據說是山東淄博淄川人。據《隋書‧律歷志》記載，《九章算術》原共九卷，西元263年劉徽為其作注，並延續了第九卷「勾股章」內容，加入自己的作品《九章重差圖》作為第十卷，直到唐代李淳風把第十卷從《九章算術》中獨立分出成書，按第一問首句「今有望海島」而取名為《海島算經》。現傳的《海島算經》是清乾隆時代所編輯《四庫全書》版本。
Question：為什麼我們背著氣瓶在水裡，吸進來自壓縮器裡的一口氣，身體會上升？浮力不是等於排開液體重？胸廓變動幅度並不大呀？
【潛水中的浮力】
當吸進一口空氣時，胸腔擴展所增加的體積是多少？雖然可能覺得胸腔擴展增加的體積不大，但已成為產生足夠「上升」浮力的關鍵。浮力等於排開液體的重量：
某天，網路上流傳的一段影片被同事看到了
「1＋2＋3＋…＋∞＝？」
【數字狂（Numberphile）：驚人的總和！】
從1一直加到無限大的值竟然是一個「小於1的負數」？這個令同事非常震驚的結果，也就是所有自然數的加總竟然為：
這是「朋友的朋友」問的一個物理題目。雖然只高中程度但很有意思，問題看似簡單卻有意想不到的思維延伸，使我深受啟發。這個讓我重溫家教解題時光的高中物理題目，屬於牛頓第二運動定律：
，探討力與運動的基本關係。
【範例１：力與運動的關係探討】
為何直線不通過原點呢？物理意義為該實驗裝置的初始狀態存在加速度，表示滑車一開始便具有一「下滑力」，即軌道傾斜導致有「重力分量」使滑車下滑。若傾斜角為θ，則該重力分量之重力加速度為
。若不考慮摩擦或其他阻力並仔細分析，我們可繪簡單力圖如下：
質量流量計具有高精準度的優點，是近代流量測量技術的一大躍進。西元1832年，科學家發現流體在轉動的管內流動時會對管壁產生科氏力。西元1977年，美國Micro Motion公司根據科氏力效應的物理原理，研發出世界上第一台質量流量計。
【Micro Motion質量流量計】
體積流量需依壓力、溫度、密度等影響作修正，測量誤差大，但質量流量則不受影響，計算簡單又準確。不論科學研究、產品控制或成本核算，隨著計量水平的日益提高，質量流量計也使用得越來越廣泛。質量流量計（Mass Flow Meter）為利用科氏力效應來測量流體質量流量的一種儀器。
西元1926年，奧地利物理學家薛丁格（Erwin Schrödinger）發表薛丁格方程式（Schrödinger Equation），奠定了「量子力學」發展的基礎。
【Erwin Schrödinger】
這個最基本的量子力學方程式描述了一個量子系統如何隨時間演變的關係：
西元1929年，天文學家哈伯（Edwin Hubble）發現，星系遠離地球的速度（v）和該星系與地球的距離（d）成正比：v＝Hd。其中，H為哈伯常數。
【Edwin Hubble發現哈伯定律】
哈伯定律（Hubble's Law）是支持大霹靂理論的重要現象，證明了宇宙正在膨脹中，並依此回溯「宇宙從一個密度極大、溫度極高的太初狀態開始」的必然推論。宇宙彷彿從一個熱點開始爆炸，然後逐漸膨脹並降溫直到現在，大霹靂（Big Bang）之名也因此而來。
，後來Ｂ走直線回家，
，如果在
。」以上的數值和運動都是相對的，但只有時間是絕對的，不因Ａ和Ｂ在不同坐標系而有不同，但我還沒進展到勞倫茲那更大塊的方程式……
旅情日誌。台灣319 (27)