阿衡的探秘地圖

牛頓的微積分

　　這場「誰發明微積分」之爭的關鍵，在於萊布尼茲到底有沒有受到「牛頓的微積分」啟發？

【牛頓】

　　西元1672年，牛頓以稜鏡色散實驗提出光的「粒子說」，卻遭到主張「波動說」的虎克（Robert Hooke；西元1635～1703年）忌妒與惡意批評，兩人的關係從此惡化，甚至等到虎克去世後，牛頓才肯出版自己的著作《Optics》（光學）。因為這段不愉快的經驗，讓牛頓視發表為畏途，也可稍為窺探當時英國科學界的陰暗面。

【虎克】

　　從此，延遲出版自己的「重要著作」似乎變成牛頓的慣例。牛頓第一本微積分著作《De Analysi》（論分析）雖然在西元1669年就完成，但1711年才出版。第二本著作《Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum》（流數法與無窮級數）完成於西元1671年，更等到1736年才出版。第三本著作《Tractatus de Quadratura Curvarum》（曲線求積法）於西元1676年成書，也是到1704年才公諸於世。而萊布尼茲的微積分論文卻從西元1684年開始就陸續正式發表了，以公開發表著作的時間線比較，萊布尼茲甚至比牛頓還早。

　　然而，牛頓是在西元1664～1666年建立微積分系統，而萊布尼茲則是在西元1672～1676年間才開始架構他的微積分，有沒有可能萊布尼茲在「非公開」場合曾接受過牛頓「薰陶」呢？雖然萊布尼茲和牛頓從沒見過面，卻曾經在西元1676年互相通信討論無窮級數，而無窮級數正是牛頓微積分的精神，於是埋下了日後「誰發明微積分」之爭的伏筆。

牛頓的得意之作：二項式定理

　　把函數化為「無窮級數」，然後以逐項運算的方式處理這些函數的微積分，這就是牛頓微積分的基礎。無窮級數又可稱「冪級數」，是一種「解析」的觀念，可以讓函數分析更加方便且直觀。舉個例子，不論是多複雜的行星軌道曲線模型，只要能把運動方程式化為冪級數，微積分便只是逐項運算並加總各項的單純計算，這就是牛頓微積分的最大優點。

　　「二項式定理」讓牛頓在微積分處理函數上有了突破性進展。牛頓在處理物理問題時，常常會碰到討論的情況。對N為正整數的情形，由「巴斯卡三角形」很快可以得到：

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

　　若N為負數或分數的情形呢？在兩人關係還未交惡之前，牛頓在給萊布尼茲的前信（epistola prior）中寫下了他的發現：

　　其中，Q＜1，A、B、C、D等分別代表展開式中前面那一項。上式為牛頓在原文信件中的寫法，若做轉換，令Q＝X並消去P，就得到二項式定理：

　　當為正整數，則回到巴斯卡三角形的情形，但當為負數或分數時，則上式右邊居然展開成擁有無窮項之冪級數，相當有趣。但是，既然導了一個擁有「無窮」的函數出來，那不是得處理「無窮」次的運算嗎？何來方便、直觀之有呢？

　　舉個簡單例子就能了解二項式定理的威力。請計算？

　　除了苦工試誤法，若要做紙筆計算，面對根本毫無頭緒，頂多知道此值介於3～4之間，但牛頓曾說：「因為二項式定理，取平方根變得更省力。」

　　代入二項式定理，取前五項得近似值：

　　與真值3.605551275…相比，此數值已經夠實用了，若再多用幾項，絕對可以更準確。所以冪級數的優點，是讓我們對開平方根、立方根，或是其他看起來很「玄」的函數，能夠以更方便、直觀的方式去處理，並且在實用的條件下對「無窮」做適當的估計與取捨，這對處理實際的物理問題上會非常有幫助。

無窮級數（Power Series）的威力

　　從圓函數的微積分計算，則可了解如何利用無窮級數去處理三角函數。如圖，作一單位圓，且有：

　　作垂線AB，可得直角三角形OAB。由面積關係：四邊形OABC＝三角形OAB＋扇形OBC。又：

　　所以面積關係為：

　　到此，就可以用牛頓的二項式定理去處理。令，代入二項式定理可得到的冪級數，再逐項積分並合併，就能求得反正弦函數的冪級數：

　　正弦函數則可設為另一個冪級數，其中各項係數未知：

　　代入關係式：

　　得：

　　展開右邊各冪次項後，比較左右兩邊的係數關係，就能求得正弦函數：

　　用類似的方法，也可求得餘弦與正切函數，並且以逐項運算的方式，很輕易就能知道他們的微分與積分，三角函數的微積分就被破解了。由此可知，除了幾何觀點，三角函數亦能用代數法去做處理與分析。

　　利用二項式定理與無窮級數來展開函數，使微積分運算忽然變得簡單，微積分成為牛頓詮釋物理現象最犀利的工具。大自然奧秘終有解讀之法，這就是牛頓微積分的偉大貢獻。（續）

一時瑜亮。微積分（上）

一時瑜亮。微積分（下）