誰來對我高談闊論「可觀測宇宙」－廣義相對論的計算 @ 阿衡的探秘地圖

　　若以地球為中心向四面八方作觀測，我們能夠看到的宇宙就稱為「可觀測宇宙（Observable Universe）」，不難想像這是一個球體空間，而球面邊緣地帶即為我們觀測宇宙的最遠距離，如何定義此距離必須考慮「光速有限」。由於超出可觀測宇宙之外的區域過於遙遠，以至從大爆炸以來發出的光線，或其他以光速傳播的物理量等信息（如引力波。以下皆以光子為代表）未能有足夠的時間到達地球而導致無法被觀測到。

【目前可觀測宇宙的範圍】

　　廣義相對論闡述了物質之間相互作用不能超過光速，所以可觀測宇宙之外的宇宙，將和我們不會有任何在物理上連絡信息的可能，可觀測宇宙之內的範圍是人類所能探測宇宙的極限，即使這只是真實宇宙的一小部分。可觀測宇宙是「膨脹宇宙」中相對任一觀測中心的一種區域定義，換句話說，無限大宇宙的可能性是存在的。

【可觀測宇宙－哈伯極深空照片示意圖】

　　根據哈伯定律，超過哈伯距離以外的宇宙將以超過光速的速度膨脹，那麼處在此區域的天體發出的光子將因為永遠無法到達地球。試想，既然光速為宇宙中最快的極限速度，那從大爆炸以來的宇宙年齡乘上光速，不就是可觀測宇宙，甚至是整個宇宙的大小嗎？但這是一種把宇宙當作「靜止」的錯誤觀念，宇宙實際上隨時隨地都是在「膨脹」的。光子的傳播速度總是光速，然而考慮宇宙膨脹，則光子每一段距離的傳播路徑，總是要跟著宇宙膨脹而變化，所以不能以古典物理的距離公式來作計算。

宇宙標度因子

　　以廣義相對論計算可觀測宇宙範圍之前要先知道哈伯定律（Hubble’s Law），其中v為星系紅移膨脹速率，D為星系與觀測者之間的實際距離：

　　根據宇宙膨脹的事實引入「宇宙標度因子（Scale Factor）」，定義為不同時期的宇宙大小相對於今日的宇宙大小的比值，其中，z為宇宙膨脹導致的紅移量，且大爆炸初始時a值為零：

【宇宙膨脹之共動作標系】

　假設宇宙膨脹導致各星系遠離為均勻，表示宇宙中各星系之間相對位置為固定，因此，引入宇宙標度因子可定義一個隨宇宙膨脹一起變化的「共動座標系」，在這個座標系之下各星系之間相對的距離是相對不變的，故可定義共動距離且規定該數值等於今日的實際距離。因此，過去的實際距離必定小於x，而未來的實際距離也必定大於x，代入宇宙標度因子可得到以下關係式，表示各星系在不同時期的實際距離是由宇宙標度因子來決定：

廣義相對論推導弗里德曼方程式

　　依據廣義相對論，在任何慣性系下觀測到的守恆量為兩點間的時空間隔，這個間隔被稱作原時τ，在四維正交座標系中其相對論不變量為：

　　對應宇宙學原理，為符合在大宇宙尺度下到處均勻且各相同性的宇宙，愛因斯坦場方程式解的形式為FLRW度規（FLRW Metric），其相對論不變量：

　　以度規張量表示如下列，其中a即為宇宙標度因子：

　　FLRW度規分別由美國物理學家H.P. Robertson、英國數學家Arthur Geoffrey Walker於西元1930年代所推導發現，俄國數學家Alexander Friedmann與比利時物理學家Georges Lemaitre也作出重要貢獻。FLRW度規取四人姓氏字母之首命名，其中，k為時空曲率，其值只為1、0、－1分別表示宇宙為封閉的球面（Spherical）、平坦（Flat）、開放的雙曲面（Hyperbolic）。FLRW度規代入愛因斯坦場方程式（Einstein Field Equations；EFE）：

　　首先，得到里奇張量（Ricci Curvature Tensor）之各曲率項分量如下列：

　　還有里奇張量的純量：

　　得到愛因斯坦張量（Einstein Tensor）之00分量：

　　假設宇宙膨脹時為到處均勻且各相同性（Homogeneous and Isotropic），其應力－能量張量（Stress-energy Tensor）有一個特別簡單的形式，其中，ρ為宇宙能量密度，p為宇宙壓力密度：

　　得到應力－能量張量之各項分量如下列：

　　代入愛因斯坦場方程式計算後即可得到弗里德曼方程式（Friedmann Equation），其中定義了隨時間變化的哈伯參數（Hubble Parameter）與宇宙標度因子之間的關係：

計算宇宙年齡與可觀測宇宙範圍

　　弗里德曼方程式（Friedmann Equation）描述了宇宙如何隨時間演化，以及影響哈伯參數隨時間演化的宇宙組成：

　　宇宙能量密度為宇宙之物質（包含暗物質）與輻射密度的總和。由於體積單位為長度立方，故物質密度與宇宙標度因子的3次方成反比，而輻射還要考慮矢量，故輻射密度與宇宙標度因子的4次方成反比。若取今日的哈伯常數，並假設時空曲率及暗能量皆為零的臨界狀況，代入弗里德曼方程式得到弗里德曼宇宙臨界能量密度（Critical Density）：