阿衡的探秘地圖

　　西元1926年，奧地利物理學家薛丁格（Erwin Schrödinger）發表薛丁格方程式（Schrödinger Equation），奠定了「量子力學」發展的基礎。

【Erwin Schrödinger】

　　這個最基本的量子力學方程式描述了一個量子系統如何隨時間演變的關係：

　　其中Ψ為物質波函數，ｍ為粒子質量，Ｖ為位能，ｈ為普朗克常數且，而則為三維空間中的拉普拉斯算符。關於薛丁格方程式的涵義，簡單來說，在量子的微觀尺度下，粒子有時會顯示出波動性質，有時又會顯示出粒子性質，這樣的特徵稱為「波動－粒子二象性（wave-particle duality）」，而薛丁格方程式則描述了微觀粒子的波動行為，也揭示了「物質波」的存在。

　　Question：既然「波動－粒子二象性」揭示了物質波的存在，但薛丁格波動方程式中為什麼會有虛數ｉ呢？很難想像，為什麼確實存在的物質會牽扯到虛無飄渺的複數，它的物理意義到底是什麼？

　　我們若要描述一個波動行為，必須說明波動系統隨時間變化時的能量狀態，是一種隨著時間演變而傳遞能量的表現。所以，探討波動能量與時間變化的關係，即為波動方程式：

　　其中為時間ｔ的算符，表示波函數對時間的某種變化形式。為哈密頓算符，它應對到波動系統的總能量Ｅ。對於像水波、聲波或光波等一般我們所熟悉的波動，它們的波動方程式基本表達形式皆為波函數對時間的二次微分方程式：

　　然而，薛丁格方程式卻是：

　　不僅物質波函數對時間的變化形式為一次微分，而且更出現虛數ｉ！當初薛丁格寫出方程式時也是霧煞煞，甚至嘗試要消除虛數ｉ，結果最後發現這是行不通的。物質波本身就是含有虛數的「複函數」，並滿足複時變方程。物質波的複數性質到底代表什麼？或許，您可以先從物質波函數的特性與薛丁格方程式的形式出發，來探討存在虛數ｉ的物理意義。

　　觀察薛丁格方程式的數學解，我們可以發現最好要有一個函數，在一次微分後與自己成正比。另外，這個函數必須能隨時間變化而具有週期震盪的性質，才能符合波動行為的數學形式，而「虛數」的指數函數正好是這樣的函數：

　　一次微分後與自己成正比：

　　又有週期震盪性質的三角函數形式：

　　此即為存在虛數ｉ的原因之一，但這只是數學上的結果論，因為方程式中有虛數ｉ，所以物質波函數的解當然也要以複數形式表現。若物質波函數是完全實數的話，那麼薛丁格方程式是否就不會出現虛數了？這是一個很好的懷疑，然而，若繼續追究物質波的能量本質，您將會發現一個不同於一般認知的世界，也就是量子世界的特徵「波動－粒子二象性」，以及它與虛數ｉ的奇妙關係。

　　西元1924年，也就是薛丁格方程式誕生前兩年，法國物理學家德布羅意（Louis de Broglie）提出了「物質波」的假設。當時普朗克的黑體輻射實驗與愛因斯坦對光電效應的研究，已揭示出光子能量、動量與頻率、波長之間的關係：

　　但德布羅意認為不僅只有光子，所有粒子的頻率與波長都可以從能量與動量求得，每一種微觀粒子都具有波動性與粒子性的「波動－粒子二象性」。德布羅意的劃時代論文開啟了量子力學的新紀元。

【Louis de Broglie】

　　現在，我們可嘗試允許物質波函數的波動方程式為虛數的指數函數形式：

　　代入薛丁格方程式：

　　注意！奇妙結果出現了：

　　我們可以發現，薛丁格方程式正好符合波動隨著時間演變而傳遞能量的表現形式。至此，物質波函數對時間的變化形式為一次微分，已非胡亂猜測，而是符合波動物理學的基本性質，若拿掉虛數，薛丁格方程式反而不可能導出符合的能量特徵值。「波動－粒子二象性」的特徵本質賦予了「虛數ｉ」必要存在的意義，物理學的可測量終於拓展到了複數。

　　繼續探討薛丁格方程式與能量的關係。動能與位能的合為總能量，而動量與動能則有以下關係式：

　　總能量：

　　考慮「波動－粒子二象性」，代入總能量得：

　　薛丁格方程式成為：

　　最後代入拉普拉斯算符，此即為對應特徵總能量的薛丁格方程式：

　　其中：

　　薛丁格方程式不直接寫出頻率與波長，適用於任何單頻率波以及它們的線性「疊加」，因此也就適用於任何物質波。薛丁格方程式最重要的特徵在於虛數ｉ，所以物質波函數的解也必須一定是複數形式。複數形式的波函數，它的本質是什麼呢？西元1926年，薛丁格方程式誕生同年，德國猶太裔物理學家玻恩（Max Born）立即發表論文指出，薛丁格的波函數是一種機率振幅（probability amplitude），其絕對值平方對應測量到粒子的機率分佈。物質波就是機率波，薛丁格方程式的物理涵義才逐漸明朗。

【Max Born】

　　薛丁格方程式所描述的波動力學，簡單來說就是揭示了粒子在時空中的行為竟然和機率有關！這種隨機性，使一向要求準確的物理學充滿不確定感，總覺得讓人難以接受，也難怪愛因斯坦要持反對看法：「我不能相信上帝是在擲骰子！」

【Solvay Conference 1927】

　　西元1927年，幾乎所有量子力學方面的權威人士，都一起出席了在比利時首都布魯塞爾舉行的第五屆索爾維會議（Solvay Conference），可視為向全世界正式宣示創立量子力學。會議中，科學家們對機率波一直爭論不休，而薛丁格尤其不高興。對薛丁格來說，他的波是真實的波，怎麼可以解釋為機率呢？不論日後正反兩派對「機率波」的辯論大戰如何進行，「量子力學」再次顛覆了傳統物理學的思想，並逐步證明機率本質理論的正確性，成為近代物理學發展的兩大支柱之一。