一時瑜亮。微積分（下）－阿衡的探秘地圖

萊布尼茲的微積分

　　牛頓把微積分應用到物理上，而萊布尼茲則清楚整理出微積分的直觀思路和數學技巧。

萊布尼茲

【萊布尼茲】

　　萊布尼茲被德國政府派駐法國巴黎是在西元1672～1676年，他遇到了當時歐洲大陸最有學問的惠更斯（Christiaan Huygens；西元1629～1695年）。受到惠更斯的啟發和鼓勵，激起萊布尼茲對數學的興趣和熱情。在巴黎的這段時光，成就了萊布尼茲創造微積分的顛峰。

惠更斯

【惠更斯】

　　西元1676年，牛頓曾兩次寫信給萊布尼茲敘述他在無窮級數上的發現，而這兩封信竟成為日後兩人「誰發明微積分」之爭的導火線。牛頓認為萊布尼茲先剽竊了自己的無窮級數觀念，才有萊布尼茲的微積分。

　　在前信（epistola prior）中牛頓寫下他的二項式定理，而後信（epistola posterior）則提示了比萊布尼茲計算圓周率的級數收斂更快的無窮級數。然而，牛頓在信中並沒有給出證明，所以萊布尼茲其實在這兩封信中並沒有學到什麼新的啟發。此外，從西元1684年起陸續發表的論文看來，萊布尼茲的微積分在精神與方法上都與牛頓大不相同。牛頓的微積分繁瑣且複雜，而萊布尼茲的微積分卻清楚且直觀，尤其是他發明的微積分符號更被一直沿用至今，影響人類科學發展深遠。

萊布尼茲法則（Leibniz Rule）

　　西元1684年，萊布尼茲發表了第一篇微積分論文《Nova Methodus pro Maximis et Minimis》（極大與極小的新方法）。在這篇文章中，萊布尼茲首次引進他的微分符號：

　　其中，，表示一個分割系統的每一小段。當分割越來越細密時，甚至作到無窮步驟的分割，使得每一小段都變成無窮小（）。為「無窮小」之意，表示「不等於零並且要多小就有多小」的微積分重要觀念，萊布尼茲利用這個觀念：

　　的高次項比無窮小還要更小，可棄之，得：

　　即為指數函數微分的基本公式。萊布尼茲還給了微分的四則運算公式：

　　（2）式為微分的乘法律，今日叫做「萊布尼茲法則」。萊布尼茲法則看起來雖然簡單，但卻是經過嚴謹數學論證的結果，而（3）式的除法律也只是萊布尼茲法則的應用而已。只要知道簡單函數的微分，透過萊布尼茲的微分公式，就能組合求得其他更複雜函數的微分了。

萊布尼茲的積分符號：∫（Summation）

　　萊布尼茲在西元1686年發表《論一深度隱藏的幾何學及無窮小與無窮大的分析》，讓積分符號「∫」正式公諸於世。

　　如上圖所示，若要求得函數在區間的積分值，可以想像將分割成許多小段，而每一小段皆有應對到其。若，則積分就是這些無窮小長條矩形面積從連續累積到的和。萊布尼茲在1693年的論文中寫到：

　　上式即為著名的「Newton-Leibniz積分公式」，是牛頓和萊布尼茲分別各自獨立發現的結果。萊布尼茲把求和（Summation）的第一個字母Ｓ拉伸，創造了優美的積分符號「∫」，表示連續求和之意。為無窮多個無窮小長條矩形面積的連續求和，此乃積分之基本涵義，確立了微分與積分、「極限」與「無窮」為互逆的觀點，一體兩面。利用微分法，我們能系統地解決求積分的問題，這是人類科學發展史上的偉大一刻。