阿衡的探秘地圖

是誰發明微積分（Calculus）？

　　曾與當老師的朋友聊到微積分發展的歷史，名氣較大的牛頓（Isaac Newton；西元1643～1727年）發明微積分一般較廣為人知，但萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz；西元1646～1716年）對微積分也有非常深遠的影響與貢獻。牛頓和萊布尼茲為微積分的共同發明者已被今日學界所認定，不過他們卻是分別發展自己的微積分理論系統，兩人甚至為了「誰發明微積分」而一狀告上英國皇家學會。

【萊布尼茲、牛頓】

　　美國的交通法規和台灣大同小異，但有一些特殊規則是台灣所沒有的。如果看到路旁立著一支紅底白邊的八角型標示牌，上面寫了白字的「Stop」，這就是「Stop Sign」。「You always have to stop at a stop sign.」，跟紅燈一樣，在美國開車時只要碰上Stop Sign，就一定要「完全停車」後才能通行，而且連「rolling stop」都會被視為沒有完全停車而開罰。

　　2012年4月16日NBC SanDiego報導了一則新聞「Man Uses Physics to Fight $400 Traffic Ticket」，美國加州大學聖地牙哥分校（UCSD）的一位物理學家Dmirti Krioukov撰寫一篇論文報告，為自己「在先停再開的標誌區沒有停車」的罰單辯護。這篇題目為「The Proof of Innocence」的報告內容，不僅按照論文格式，而且物理公式、分析圖表俱全，並成功說服法官撤銷了這張400美元的罰單，於是「物理打敗罰單」的故事便傳了開來，成為茶餘飯後令人津津樂道的趣聞。

　　關於換熱器工程，討論到一個很有意思的問題：一根圓柱體塞入一橫躺的空心圓柱管，圓柱體的外徑幾乎與空心圓柱管的內徑一致，因此塞入時圓柱體面與柱管內壁密合而產生摩擦力，請問因此造成的麼擦力是多少？這個題目以前都沒想過，讓我覺得很有趣，於是做了一下分析。

　　首先要確定題目的定義，所謂「外徑內徑一致」在這裡是rough的，塞入的圓柱體外徑應該至少要比柱管內徑大，如此才會產生正向力Ｎ(σ)而造成摩擦力，但也不能太大，不然會塞不進去，所以這裡要講「一致」。這個Ｎ(σ)怎麼來留待稍後討論。

　　一個問題：光的最小波長極限在哪？探討這個問題之前，得先思考光波長的物理意義？光速為定值，波長與頻率為反比，而頻率與能量為正比：

ｖ＝λν；ｖ波速，λ波長，ν頻率

Ｅ＝ｈν；Ｅ能量，ｈ蒲朗克常數

　　Brouwer's fixed point theorem的描述為：對於一個拓樸空間中滿足一定條件的連續函數f，存在一個點x₀，使得f(x₀)＝x₀。簡單來說，若有一實數代數方程式f(X)＝y＝ax＋b，則存在fixed point x₀使得y＝x₀＝ax₀＋b。在線性代數中這似乎是一個顯而易見的定理，然而若應用在其他拓樸空間中的情形是怎樣呢？

　　似乎很抽象，不過或許可以這樣想像：將一張Ａ４紙平鋪在桌面上，再把紙揉成一團，放在原來紙張所在的地方，只要紙團放置的範圍不超出原來紙張平鋪時的邊界，那麼被揉成一團的紙團中一定有一個點x₀，而x₀垂直在桌面上的投影點，會與原來在紙張平鋪時x₀所在的位置是重合的。等效對應到線性代數的例子，紙上的平面為所有x的集合，揉成一團的動作則可視為滿足一定條件的連續函數f＝y（所以揉的時候不能撕破紙），而投影點fixed point即為x₀。

　　一種相當直觀易瞭的中袋灌球法，可以很簡單找到目標球灌中袋的反射點。除了灌中袋，也可以應用於其他的灌球球型，以下條列其測量步驟，並寫下此法之數學證明。

測量步驟：