阿衡的探秘地圖

　　進動（Precession）為作旋轉運動之物體其旋轉軸又繞著另一軸旋轉的現象，如原地打轉的陀螺若稍有偏斜，它的「自轉軸」也會開始旋轉擺動。在太陽系中，行星繞著太陽公轉也是一種旋轉運動，公轉軌道呈現一橢圓軌跡，但實際上此公轉軌道並非固定，其橢圓亦會「旋轉」而形成進動。當行星和太陽最接近時稱為「近日點」，因為橢圓公轉軌道的旋轉，於是也有「行星近日點進動」的現象產生。由古典牛頓力學分析，造成行星近日點進動最主要是受到其他行星引力的拉扯，這是很理所當然的原因。另外，太陽的扁橢球體形狀也會產生太陽引力的不對稱，但這對行星近日點進動的影響是微乎其微。

【地球繞太陽公轉軌道之進動】

　　十六世紀之後隨著觀測技術的發展進步及天文學家的努力不懈，天文學界留下了大量又準確的觀測數據。西元1859年，法國天文學家勒維耶（Urbain Le Verrier，海王星的預言者）分析了從1697～1848年水星凌日的時間記錄，發現並計算出水星近日點進動的觀測值，比由古典牛頓力學算得的理論值，每一百年相差了38弧秒。1882年，加拿大天文學家紐康（Simon Newcomb）重新測定水星近日點進動率偏差值為每世紀43弧秒。

【水星近日點進動】

　　每世紀43弧秒，雖然此值微小到三百萬年後水星近日點才會進動一整圈，但科學家為了尋求這一偏差的解釋卻帶來更多的問題，如假想一顆未被發現的水內行星，甚至對牛頓重力定律提出根本性懷疑。直到西元1905年，愛因斯坦提出狹義相對論，光速的極限揭示古典牛頓力學在大天體尺度下的矛盾，然後廣義相對論的架構逐步建立，愛因斯坦開始思考自1859年以來一直困擾天文學家的「水星近日點進動」問題，並在1915年發表《用廣義相對論解釋水星近日點運動（Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie）》，計算了水星近日點的進動率偏差。

【彎曲時空中的公轉軌道示意圖】

　　根據廣義相對論，大質量的物體造成周圍的「時空」彎曲，而太陽的巨大質量也會造成時空彎曲，行星於是陷入了彎曲時空幾何中的公轉軌道，此即為引力的真正內涵。由愛因斯坦重力場方程式，當我們知道物質與能量在時空中如何分布，就能計算時空的曲率，然後利用測地線方程式求得物體在重力場中的運動軌跡。通過計算，愛因斯坦得出的水星近日點恰好是以每世紀43弧秒的速率在進動，符合觀測值的結果成為廣義相對論最有力的驗證之一。

　　因為彎曲時空中的公轉軌道並非真正的橢圓，所以行星的軌跡會隨著時間緩慢進動，廣義相對論的推導如下。在任何慣性系下觀測到的守恆量為兩點間的時空間隔，這個間隔被稱作原時τ，在四維正交座標系中其相對論不變量為：

　　太陽與行星公轉軌道運動，對應著一不帶電荷和角動量之球對稱質量M的重力場，愛因斯坦場方程式解的最簡單形式為史瓦西度規（Schwarzschild Metric），其相對論不變量：

　　史瓦西度規由德國物理學家史瓦西（Karl Schwarzschild）於西元1915年推導出，可利用測地線方程式的定義，給出四維球座標系的最短曲面路徑，可知時空產生了彎曲。

　　對行星軌道系統，任一θ皆可視為視角轉換的對稱，故可排除參數θ簡化史瓦西度規：

　　導出軌道運動的軌跡方程式：

　　其中，由重力場之能量守恆和角動量守恆，可令

　　所以得到不變量

　　代入整理可得軌道運動方程式

　　此即為能量與動能、位能關係式，可定義等效位能：

　　上式中，第一項是牛頓重力位能，第二項是具有排斥效應的離心位能，皆為古典橢圓運動力學的結論，而第三項僅在廣義相對論中才有導得，代表與距離立方成反比的吸引位能，此即為行星近日點進動的來源。由：

　　繼續換求軌道運動之極角方程式：

　　軌道運動方程式轉換成極角參數，可單純討論其旋轉運動軌跡對幅角的變化，並解出方程式的解。其中，先有參數變換的技巧，可令：

　　然後對U微分

　　其中有微分鏈鎖率

　　此即為行星軌道運動之極角方程式：

　　求解，令

　　極角方程式右邊第一項應對U₀為古典力學的解（克卜勒第一定律），為不作進動完整封閉的橢圓軌跡：

　　極角方程式右邊第二項應對U₁為廣義相對論中有關於吸引位能的解，可利用U₀得到近似解法如下：

　　其中有三角函數倍角公式

　　接著，要用猜解法求微分方程的解。猜U₁之形式為：

　　所以

　　比較係數得：

　　解出

　　所以，由廣義相對論推導出之行星軌道運動之極角方程式的全解為：

　　觀察上式。因為在行星軌道運動中：

　　故可忽略含有該係數之項，但為了要求得該運動極細微之角度變化，於是要保留為：

　　整理

　　其中有三角函數極限值

　　以及三角函數和角公式

【行星軌道近似橢圓的進動軌跡】

　　觀察廣義相對論導出之行星軌道運動之極角方程式的解，可發現其軌跡雖近似橢圓但確實不是橢圓，因Cosine項中極角函數產生了微小變化：

　　由此可得到行星運動軌道的週期角大於2π，於是造成行星公轉軌道的進動：

　　其中

　　即為行星運動軌道的進動率。考慮行星運動軌道為橢圓時：

　　近日點有

　　所以

　　代入得行星近日點進動率公式：

　　其中

　　對水星：

　　計算廣義相對論水星近日點進動率為（須注意單位換算）：

　　此理論計算值幾乎同等於每世紀43弧秒的觀測值了！對太陽系中的其他行星而言，雖然皆會有廣義相對論之近日點進動，但它們的進動率相較水星實在是又太小了，幾乎更難察覺，所以水星近日點進動的觀測才會成為驗證廣義相對論的關鍵證據。

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