重力透鏡效應(Gravitational Lensing)為光行經強力重力場源(如星系、星團、黑洞等天體)附近時,將會發生彎曲而偏折的現象,宛如通過光學透鏡折射而聚焦。若遠方星星發出的光經過偏折後射向地球,我們將會發現遠方星星的位置有了改變而形成虛像,甚至能觀測到不同位置光點皆為同一天體所發出的「愛因斯坦十字架」特殊景像。古典力學分析,無質量的光不會受到重力影響,然而愛因斯坦卻依據廣義相對論導出了光會偏折的預言,成為廣義相對論能發揚近代物理學的重要論證之一。

 

愛因斯坦十字架(QSO 2237+030)

愛因斯坦十字架QSO 2237+030)】

 

  為了驗證廣義相對論,英國皇家學會天文學家愛丁頓爵士(Sir Arthur Eddington)組建一支科研考察隊,來到非洲西海岸外的一座偏僻小島「普林西比島(Principe)」,觀測於西元1919年五月29日所發生的日全食。因為遮蔽太陽主體可過濾陽光多餘干擾,所以能準確觀測背景光源受到太陽重力場產生偏折的影響程度,1919年的日全食觀測首次得到了廣義義相對論所預言的數值,爾後在1922年、1953年、1973年的日蝕也重複觀測得出同樣的結果。直到1980年,天文學家才第一次正式觀測到天體的重力透鏡效應,QSO 0957+561發出的光經過前方星系的重力場影響而彎曲,形成了AB兩個一模一樣的類星體的像。

 

重力透鏡效應QSO 0957+561

重力透鏡效應QSO 0957+561

 

  根據廣義相對論,大質量的物體造成周圍的「時空」彎曲,而太陽的巨大質量也會造成時空彎曲,光於是陷入了彎曲時空幾何之中,此即為重力場的真正內涵。由愛因斯坦重力場方程式,當我們知道物質與能量在時空中如何分布,求得重力場中的速度方程式,並計算時空的曲率和光線偏折角度。通過計算,愛因斯坦得出射向地球的光通過太陽邊緣至地球觀測得到的偏折角度恰好為1.7弧秒,符合觀測值的結果為廣義相對論提供有力驗證。

 

星星發出光受太陽重力場產生偏折與虛像

星星發出光受太陽重力場產生偏折與虛像

 


 

  因為重力場影響造成時空彎曲,所以光的行進軌跡不一定總是「直線」,而是走「最短時間路徑」,廣義相對論的推導如下。在任何慣性系下觀測到的守恆量為兩點間的時空間隔,這個間隔被稱作原時τ,在四維正交座標系中其相對論不變量為:

 

 

  太陽與行星公轉軌道運動,對應著一不帶電荷和角動量之球對稱質量M的重力場,愛因斯坦場方程式解的最簡單形式為史瓦西度規Schwarzschild Metric),其相對論不變量:

 

 

  史瓦西度規由德國物理學家史瓦西(Karl Schwarzschild)於西元1915年推導出,可利用測地線方程式的定義,給出四維球座標系的最短曲面路徑,可知時空產生了彎曲。

 

 

  由於光速平方的分母遠大於分子,史瓦西度規可近似為:

 

 

  其中,球座標轉換為直角坐標是經過以下關係:

 

 

  於是導得史瓦西度規轉換成「直角坐標系」之形式:

 

 

  考慮一個從遠方經過太陽周圍然後射向地球的光,其光路徑(依據廣義相對論須滿足「最短時間路徑」()設定為在x-y平面上()且與x軸垂直()、與y軸平行,與原點太陽之距離為x,代入「直角坐標系」形式之史瓦西度規得:

 

 

  又光速平方的分母遠大於分子,上式可近似為:

 

 

  且第4項實在是非常小亦可忽略,故得在太陽重力場中觀察射向地球的光速為:

 

 

  假設光周圍空間受到太陽重力場影響形成曲率,故原本一起平行前進的光「波前線」速度會因曲率變化而有些微不同,即在相同時間間隔,在微觀尺度,其光波前線的行進距離將產生差異量,於是造成光行進方向角度的改變,此即為曲率的具體表現。依「最短時間路徑原理」,愛因斯坦定義太陽重力場中之空間曲率為:

 

 

  其中可設定為在太陽重力場中觀察射向地球的光速:

 

 

  代入曲率方程式得:

 

 

  且第3項實在是非常小亦可忽略,故射向地球的光受到太陽重力場影響所造成的偏折曲率為:

 

 


 

愛丁頓爵士拍攝西元1919年五月29日日全食

愛丁頓爵士拍攝西元1919年五月29日日全食

 

  當發生全日食,可以全程拍攝一組太陽被月球遮蔽後全黑附近一批星星的照片,然後對比這批星星在前方沒有太陽時的實際位置,以確認這些星星發出的光向地球射來,究竟是一直線前進,還是受到太陽的重力場影響而偏折。

 

光產生偏折角度示意圖

光產生偏折角度示意圖

 

   愛丁頓爵士在西非普林西比島觀測日全食,正是濾掉太陽主體之光,並測量遠方射向地球的光經過太陽邊緣所產生之偏折角度的好時機。令太陽半徑

 

 

  光產生偏折角度為曲率對「最短時間路徑」作積分:

 

 

  令,且,故

 

 

  得到光產生偏折角度公式如上,其中

 

 

  計算廣義相對論光通過太陽重力場產生偏折角度為(須注意單位換算):

 

 

  此理論計算值幾乎同等於愛丁頓爵士觀測日全食所得到的數值了!

 

 

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