阿衡的探秘地圖

　　想像宇宙中是否有個地方重力非常強大，強大到沒有任何東西，包含粒子、電磁波，甚至連光都不能逃脫－「黑洞（Black Hole）」－廣義相對論所預言的一種非常特殊的緻密天體，由於恆星死亡後核心造成時空坍塌，質量緊密到強烈扭曲了時空，形成密度無限大、時空曲率無限小的「奇點（Singularity）」，強大的重力將吞噬鄰近區域所有物質，在不能超過光速的限制下，一旦掉入黑洞的邊界「事件視界（Event Horizon）」就永遠逃出不來了。

【M87超大質量黑洞】

　　西元2019年四月10日，由事件視界望遠鏡（Event Horizon Telescope；EHT）成像發表M87超大質量黑洞照片，成為人類歷史上第一張黑洞觀測的天文影像，證實了黑洞的存在。EHT以甚長基線干涉技術（VLBI），協調世界各地的電波望遠鏡同步觀測、記錄數據，結合成一座口徑等效於地球直徑的「虛擬望遠鏡」大幅提升解析能力，才終於看到了隱藏在星系中心的黑洞結構。由於連光都無法逃脫，不能直接看到黑洞本身導致天文觀測困難，然而，對於黑洞的預言卻可追溯至1915年。

【卡爾．史瓦西（西元1873－1916）】

　　西元1915年十一月，愛因斯坦發表廣義相對論，僅僅一個月之後，德國天文物理學家史瓦西（Karl Schwarzschild）就找到了愛因斯坦場方程式的一個精確解，此即為「史瓦西解（Schwarzschild Solution）或史瓦西度規（Schwarzschild Metric）」。利用史瓦西解，不僅可以解釋水星近日點進動、重力透鏡效應、重力紅移等現象，還能得到一個靜止不旋轉、不帶電的「史瓦西黑洞」，這是黑洞的最基本型態。由於史瓦西黑洞存在一個的密度趨近無限大的奇點，雖然看似荒謬卻是史瓦西解的一個合理結論，於是人類開始意識到黑洞存在的可能性。

協變微分與克里斯多福符號

　　由愛因斯坦場方程式（Einstein Field Equations；EFE），等式左邊描述了四維時空的幾何空間，右邊則是物質或能量：

　　為了求解愛因斯坦場方程式，首先要處理等式左邊的幾何。如何定義非歐基里德空間的幾何微分，必須要用黎曼幾何（Riemannian Geometry）的方法。由於空間曲率讓座標系發生了彎曲，對基底向量（Basis Vector）來說，若把基底向量沿座標方向「平移（Parallel Transport）」之後去作微分的結果，將不單只有自己的變化，還包含了另外其他基底向量如何互相變化的「額外項」：

　　協變微分（Covariant Derivative）則描述了座標基底的微分規則，其中，「克里斯多福符號（Christoffel Symbols）」又定義為聯絡係數（Connection Coefficients），用來計算座標基底在協變微分之後所產生的額外項的係數。對於四維時空的度規張量（Metric Tensor）：

　　由於愛因斯坦求合約定（Einstein Summation Convention）定義了四維時空的不變量，它是度規張量與基底向量各分量相乘之後的總和，表示基底向量作協變微分之後所產生的「額外項」，必須與度規張量作協變微分之後所產生的「額外項」互相抵銷，故兩者之克里斯多福符號剛好互為正負，其中，四維時空的度規張量定義為對偶空間（Dual Vector），表示協變微分的「額外項」有兩項：

　　對四維時空，度規張量之協變微分必須為零，加上考慮座標基底本身為無扭轉自身變化的簡單情況，再經由指標變換：

　　計算（1）－（2）－（3） 再兩邊同乘以：

　　可得到度規張量與克里斯多福符號之間的關係，此即為勒維奇維塔聯絡（Levi-Civita Connection）：

　　需要克里斯多福符號的原因，是為了繼續求導「黎曼曲率張量」，才能得到愛因斯坦張量，描述愛因斯坦場方程式之中四維時空的空間曲率。

黎曼曲率張量

　　對於一個存在的四維時空，黎曼幾何的意義為「有解」，表示基底向量作協變微分之後的結果必須為零，換句話說，基底向量沿座標方向「平移」到四維時空的任何一處皆必須保持不變，與如何選擇坐標系無關：

　　作第二次協變微分取交換運算（Commute）之後同樣也必須為零：

其中

得到

　　又考慮座標基底本身為無扭轉自身變化的簡單情況 ：

　　其中，定義「黎曼曲率張量（Riemann Curvature Tensor）」，結構為一組4X4的大矩陣，其中每項大矩陣分量亦各是一組4X4的小矩陣，故總共有16X16＝256項小矩陣分量：

　　黎曼曲率張量的物理意義，若其值為零則表示存在一個「有解」的四維時空，對其求解則描述了四維時空如何扭曲空間，即能決定四維時空的「曲率」。為了能更方便理解幾何曲率，由相對論的不變量對應幾何的不變量，因此選擇擷取黎曼曲率張量對角分量的不變量「跡（Trace）」並簡化成對角化的近似形式，黎曼曲率張量於是被簡併成最簡單的「里奇張量（Ricci Tensor）」：

　　還有里奇純量（Ricci Scalar）或純量曲率（Scalar Curvature）：

　　若能適當假設各種時空條件，最後再求解里奇張量，即可推導四維時空的幾何解。

 史瓦西解

　　若時空滿足球對稱性（Spherical Symmetry）且靜止的（Stationary），以及有質量分布趨近在原點附近、其他各處為真空的情況，依據廣義相對論，在任何慣性系下觀測到的守恆量為兩點間的時空間隔，這個間隔被稱作原時τ，假設在四維球座標系中其相對論不變量為：

　　此即為史瓦西解的假設形式，其中，因為時空為球對稱性與角度無關，靜止的時空亦與時間無關，故可假設A、B為未知的r函數。以度規張量表示如下列：

　　接者要找出A和B。第一步，計算克里斯多福符號：

　　代入史瓦西解假設形式之張量度規各項分量，共有64項。以下列出不為零之項：

　　第二步，計算黎曼曲率張量：

　　代入史瓦西解假設形式之克里斯多福符號計算，共有256項。以下列出不為零之項：

　　第三步，計算里奇張量：

　　代入史瓦西解假設形式之黎曼曲率張量求得：

　　第四步，求解：

　　由 ：

　　以上關係式代入（6） 即可分別求得A、B：

　　第五步，求出常數K：

　　這裡定義了史瓦西拉格朗日量（對應在原時項），表示若在r趨近無限大之處，上式可近似於古典牛頓力學之球坐標系的拉格朗日量（Lagrangian）並重新定義：

　　比較兩者係數即可得常數K：

　　取正值即為史瓦西半徑。最後，寫出史瓦西解，其中，當r進入史瓦西半徑「事件視界」，然後繼續趨近於零，則會產生一個怪異的地方－四維時空的相對論不變量之時間項會趨近無限大，而空間項則會趨近於零的「奇點」，成為黑洞理論的根源。