阿衡的探秘地圖

高談闊論狹義相對論之後……

　　Question：我被那兩個方程式給卡到定格，伽利略跟勞倫茲……我不太了解物理歷史和它出現的時空背景，為何忽然天外飛來一律？又是如何被理解和應用？後來YOUTUBE了伽利略變換，就比較可以理解那個ｘｙｚ的實際想像：「Ａ和Ｂ兩人，8:00的時候原本在同一點，後來Ｂ走直線回家，5分鐘後到達，如果在8:05時發生了一件事，這件事跟Ｂ的距離是。」以上的數值和運動都是相對的，但只有時間是絕對的，不因Ａ和Ｂ在不同坐標系而有不同，但我還沒進展到勞倫茲那更大塊的方程式……

【伽利略變換示意圖】

　　以上關於伽利略變換（Galilean Transformation）的理解，仍落入了「單一座標系思維」的圈套，誤解之處在於與並非是同一座標系中，而是不同座標系的定位表達，表示了兩個不同參考座標系的相對轉換關係，所以才有「變換（Transformation）」之名。 

　　對伽利略變換的理解，可以重新修正敘述為：如上圖所示，8:00的時後Ａ和Ｂ兩人在同一點，後來Ａ不動，Ｂ沿正ｘ軸方向、以速度ｖ走直線回家，所以Ｂ和Ａ之間的距離為一隨時間改變的參數「」，此即為兩個參考座標系Ｓ（Ａ）與Ｓ’（Ｂ）原點的距離。Ｂ走了5分鐘後（8:05），如果發生了一件事（event）跟Ａ的距離為，那麼這件事跟Ｂ的距離就是，其中ｘ與ｘ’的變換關係式即為。

　　在古典力學中，伽利略變換是用來轉換不同座標系對相同事件的定位描述，因為彼此以等速相對運動、參考原點不同（如Ａ和Ｂ所看到），所以在不同座標系中觀察同一事件時，就會有不同表像，此乃「相對性原理」，也是牛頓第一運動定律「慣性定律」的基石。

科學巨人：伽利略

【伽利略，現代科學之父】

　　義大利人伽利略（Galileo Galilei；西元1564～1642年）身為當代的物理學家、數學家、天文學家及哲學家，展現了天才與博學，被譽為「現代科學之父」。歸納伽利略的重大成就有：

　改良天文望遠鏡，使天文觀測的技術大進步，驗證了哥白尼的日心說並引導克卜勒發現行星運動定律。

　設計斜面滾球實驗，論證物體只要不受外力作用，就會保持原來的靜止狀態或等速運動狀態，此即為「慣性原理」，亦為牛頓力學的基礎。

　設計有名的「比薩斜塔」落體實驗，發現落體運動非為等速運動而是加速度運動，證明落體的質量與落地時間無關，並啟發了牛頓發現萬有引力。

【伽利略的斜面滾球實驗】

　　伽利略本來把等速運動叫做「均勻的移動」，但這樣定義是有瑕疵的，因為描述物體運動除了「速度」之外，還得要說明「方向性」。以圓周運動為例，若只知道速度卻不說明「向心」，我們將認為該物體是在做直線運動。後來，牛頓（Isaac Newton；西元1643～1727年）指出運動的方向性並加上「直線」條件，才建立了「牛頓三大運動定律」。

【牛頓說：我站在巨人的肩膀上】

　　牛頓曾說：「If I have seen further, it is by standing on the shoulders of giants.」伽利略對「速度」本質的研究，架構了「相對性原理」與「伽利略變換」的基礎，並啟發牛頓力學。伽利略是科學革命的巨人，他的成就造成十六世紀歐陸的科學躍進，影響物理學發展深遠。

勞倫茲變換的推導

　　相對性原理是普遍的物理定律，但狹義相對論引進了「光速恆定」假設，使得古典的伽利略變換修正為「勞倫茲變換（Lorentz Transformation）」。推導勞倫茲變換之前，先從伽利略變換開始：

　　但狹義相對論闡述的是空間、時間與速度的「相對性」，若以伽利略變換為出發點，在Ｓ座標系，我們可以重新假設空間ｘ與ｘ’的變換關係式為：

　　其中γ為一未知參數，新的變換形式表現空間、時間與速度的「相對性關聯」。當然，我們也可以在另一個參考座標系Ｓ’來作相對變換：

　　現在考慮「光速恆定」的假設。在不同參考座標系中，我們觀察到的真空光速始終恆為定值ｃ，所以光在Ｓ 與Ｓ’座標系的運動距離分別為與，代入(1)與(2)式整理可得：

　　把ｔ’代入ｔ：

　　兩邊消去ｔ並移項合併：

　　γ推導出來了！於是空間ｘ的勞倫茲變換式就能寫成：

　　我們也能求時間ｔ的變換式。由(2)式可整理得：

　　代入可求時間ｔ的勞倫茲變換式：

　　以上即為勞倫茲變換的數學推導。最後，我們得到空間與時間的勞倫茲變換總式，可發現時間不是絕對的：

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