阿衡的探秘地圖

　　某天，網路上流傳的一段影片被同事看到了「1＋2＋3＋…＋∞＝？」

【數字狂（Numberphile）：驚人的總和！】

　　從1一直加到無限大的值竟然是一個「小於1的負數」？這個令同事非常震驚的結果，也就是所有自然數的加總竟然為：

　　為了證明這個「匪夷所思」的結論，首先，影片中的物理學家先定義一個無窮數列Ｓ_１：

　　接著利用Ｓ_１得到另一個無窮數列Ｓ_２：

　　再經過巧妙的「錯位計算法」而有以下關係式：

　　最後導出驚人的「瘋狂結果」：

　　Question：這個讓人摸不著頭緒的「瘋狂結果」到底是啥鬼？難道我們被數學魔鬼的戲法給愚弄了嗎？

　　能得到如此「瘋狂結果」的關鍵，在於如何去定義Ｓ_１這個無窮數列的值，也就是「格蘭迪級數（Grandi's Series）」：

　　西元1703年，義大利數學家格蘭迪（Guido Grandi）發表格蘭迪級數。格蘭迪級數屬於「發散級數」，一般是沒有「和」的，因為隨著逐項延續，其值總是為0與1反覆變動，不會收斂到一個極值，所以其「和」不存在。

【Guido Grandi】

　　但如果對格蘭迪級數進行一些「特別」的求和處理，就會有特定「和」出現。以收斂級數求和的方法：

　　我們可以輕易得到的結果。但若真的要講究其中的數學，我們在某種程度上的確是被「愚弄」了，畢竟上述計算Ｓ_１的方法只能用在收斂級數，但Ｓ_１是發散級數，因此能否適用還是個大疑問……

　　若Ｓ_１是以不嚴謹的數學計算所定義，那麼由Ｓ_１導出「1＋2＋3＋…＋∞＝－1/12」的「瘋狂結果」只是某種被數學魔鬼玩弄的瘋狂小把戲嗎？或許不盡然如此，在大自然中有許多「物理現象」總是指引出意外的結果，其中之一就是「卡西米爾效應（Casimir Effect）」的發現。

【Hendrik Casimir】

　　西元1948年，荷蘭物理學家卡西米爾（Hendrik Casimir）預言了一種現象並且隨後被證實：在真空中，兩片中性（不帶電）的金屬板會出現吸力，只有在兩金屬板距離非常微小時，才能測量到這樣的現象。

【卡西米爾效應】

　　「量子場論」引進「波動－粒子二象性」並結合場（Field）與量子力學（Quantum Mechanics）的觀念，簡單來說，空間中各式各樣的物理場（如電磁場）是能被量子化的。想像物理場的「量子化」是在空間中充滿了「諧振子」，場的強度大小則可看作諧振子作簡諧運動的振動位移，因此能傳播場的振動而造成作用力（如電磁力）。

【真空中充滿「諧振子」示意圖】

　　發現「卡西米爾效應」顛覆了我們對「真空」的認知，這種現象在古典物理學中是絕對不會出現的。根據量子場論「真空不空」的觀念，即使在沒有任何物質存在的真空中仍會有能量漲落。因此，卡西米爾效應為「真空能量的變化」導致兩金屬板產生吸引力，表示即使在真空中也會有複雜的能量分布。

　　量子化並約化最小能量單位，我們可以想像「真空場」的簡單概念：真空場由與許多振動位移為「1與－1」的諧振子所組成，以趨近無限的數量充滿了整個真空並作簡諧震盪，具有「1與－1」的能量特徵值，且彼此相消而得到「零值」，此即為真空狀態的概念。因此，真空能量分布可類比為「1－1＋1－1＋1－1…」的無限加總……咦！熟悉的格蘭迪級數忽然出現了！難道它可以跟真空能量扯上關係？「1＋2＋3＋…＋∞＝－1/12」到底是啥鬼？

【一維諧振子示意圖】

　　既然「1－1＋1－1＋1－1…」可類比為真空能量分布，那麼我們就以諧振子的觀念與波動方程式（參閱：誰來對我高談闊論「薛丁格方程式」）來計算看看。簡化成一維諧振子問題，設振子質量為ｍ，其位勢能為：

　　所以哈密頓算符：

　　代入薛丁格方程式：

　　為了解微分方程式，令：

　　則(1)式變成：

【諧振子以駐波形式被束縛示意圖】

　　在位勢能中，諧振子以駐波形式束縛振動。考慮邊界條件，當ｘ趨近正負無限大時，表示波函數振幅趨近零，即能量→0，所以當（即），於是，(2)式可近似成：

　　於是我們嘗試得到一個特殊解：

　　因此可令(2)式的一般解為：

　　代入(2)式即為一Hermite方程式：

　　由Hermite方程式的性質，當

　　Hermite方程式才不會為無窮級數，諧振子波函數才能有解。代入：

　　最後可求得諧振子能量的量子化公式。當ｎ為0時能量態最低，此即為「真空能量」：

　　真空能量又稱為「零點能量」，乃真空的能量期望值，而此值其實不為零，成為「卡西米爾效應」的理論依據。

　　還記得之前我們為了設想「真空場」的概念，於是做了量子化並約化最小能量單位的動作嗎？即為量子化的最小能量單位，所以真空能量的計算可轉換成：

　　熟悉的格蘭迪級數又出現了！發展至此，這個級數竟然有個令人出乎意外的證明方式，進而讓「1＋2＋3＋…＋∞＝－1/12」的「瘋狂結果」得以實現。它並非建立在嚴謹的數學上，而是得自於物理現象與量子力學的啟發，還得必須做到真正的「無限」加總，我們才能得到這個結果。

　　不論加到多麼龐大的自然數，「1＋2＋3＋…」絕對是發散到無限大，除非我們真的給他天荒地老實際加到∞，「－1/12」的結果才會出現。如果你真要問這個「瘋狂結果」到底是啥鬼？其背後的物理意義和無限大到底又是什麼？違背日常生活的想法與直覺，或許，他就是隱藏在奇妙大自然背後的一個神祕頑皮鬼吧……