目前分類:天外飛來一筆 (22)

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  進動(Precession)為作旋轉運動之物體其旋轉軸又繞著另一軸旋轉的現象,如原地打轉的陀螺若稍有偏斜,它的「自轉軸」也會開始旋轉擺動。在太陽系中,行星繞著太陽公轉也是一種旋轉運動,公轉軌道呈現一橢圓軌跡,但實際上此公轉軌道並非固定,其橢圓亦會「旋轉」而形成進動。當行星和太陽最接近時稱為「近日點」,因為橢圓公轉軌道的旋轉,於是也有「行星近日點進動」的現象產生。由古典牛頓力學分析,造成行星近日點進動最主要是受到其他行星引力的拉扯,這是很理所當然的原因。另外,太陽的扁橢球體形狀也會產生太陽引力的不對稱,但這對行星近日點進動的影響是微乎其微。

 

地球繞太陽公轉軌道之進動

地球繞太陽公轉軌道之進動】

 

  十六世紀之後隨著觀測技術的發展進步及天文學家的努力不懈,天文學界留下了大量又準確的觀測數據。西元1859年,法國天文學家Urbain Le Verrier(海王星的預言者)分析了從1697~1848年水星凌日的時間記錄,發現並計算出水星近日點進動的觀測值,比由古典牛頓力學算得的理論值,每一百年相差了38弧秒。1882年,加拿大天文學家Simon Newcomb重新測定水星近日點進動率偏差值為每世紀43弧秒。

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  廣義相對論(General Relativity)預言,當質量處於轉動狀態時會對時空造成拖曳和扭曲,此現象可以想像成一浸在水中的旋轉球對周圍流體產生的擾流現象。NASA在西元2004年發射了一顆科學探測衛星-重力探測器B(Gravity Probe B;GP-B),這個任務實驗的目的是測量地球自轉周圍時空曲率。GP-B在地球的極軌道上持續公轉,利用衛星上高精密度的陀螺儀來精確測量角動量的細微變化,證明了地球重力場中的時空扭曲與廣義相對論效應。關於重力探測器B實驗的計畫與任務細節可至NASA官網-Gravity Probe B:The Relativity Mission 

 

Gravity Probe B任務實驗示意圖

Gravity Probe B任務實驗示意圖

 

  廣義相對論對質量影響時空扭曲現象的描述,是以「愛因斯坦重力場方程式」來表達。雖然愛因斯坦方程式的形式看起來很簡單,但實際上它是一組「能量-動量張量」方程式,不僅包含二階非線性微分方程式的複雜計算,還需要應用張量難解的數學技巧,這一般多少都會在直觀上的理解產生阻礙。「重力電磁性理論(Gravitoelectromagnetism;GEM)」則是探討轉動質量對周圍時空影響的一套類比理論,於西元1893年由Oliver Heaviside建立,雖然早於相對論,但其基礎框架仍可沿用到1915年發表的廣義相對論及以其為基礎發展的重力磁性理論之中。

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 Covariance and Contravariance describe how the quantitative description of certain geometric or physical entities changes with a change of basis. They are the mathematical foundation to understand General Relativity.

 

James Joseph Sylvester(1814-1897)

【James Joseph Sylvester(1814-1897)】

 

 The terms Covariant and Contravariant were introduced by James Joseph Sylvester in 1853 to study algebraic invariant theory. Now they are extensive using in Tensor Field analysis of mathematics, physics, and engineering, even in General Relativity. In order to understand what Covariance and Contravariance are in a vector space, in the beginning, a vector can be written as

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Physics derive: OB Tsai Write & Edit: BMC

 

 The study of the motion is an ancient one, making Classical Mechanics one of the oldest and largest subjects in physics. It is also widely known as Newtonian Mechanics. The initial development of Classical Mechanics is often referred to as Newtonian Mechanics, with the mathematical methods invented by Isaac Newton. The most famous equation is known as Newton's Second Law of Motion.

 

Isaac Newton(1643-1727)

【Isaac Newton(1643-1727)】

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  《海島算經》為中國古代數學家劉徽的傑出作品。利用勾股形(直角三角形)的比率算法原理,使用矩(彎曲成直角的尺)、表(垂直入地的量杆)等測量工具創造出「重差術」。《海島算經》使古代中國的測量學方法達到完善與巔峰,並廣為運用在地圖繪製技術的理論發展,曾有美國數學家讚譽「中國在測量學的成就上超越了西方一千年」,貢獻非常卓越。

 

《海島算經》第一頁(清乾隆《四庫全書》版本)

《海島算經》第一頁(清乾隆《四庫全書》版本)

 

  劉徽(約西元225295年),三國時代魏晉數學家,據說是山東淄博淄川人。據《隋書‧律歷志》記載,《九章算術》原共九卷,西元263年劉徽為其作注,並延續了第九卷「勾股章」內容,加入自己的作品《九章重差圖》作為第十卷,直到唐代李淳風把第十卷從《九章算術》中獨立分出成書,按第一問首句「今有望海島」而取名為《海島算經》。現傳的《海島算經》是清乾隆時代所編輯《四庫全書》版本。

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  Question:為什麼我們背著氣瓶在水裡,吸進來自壓縮器裡的一口氣,身體會上升?浮力不是等於排開液體重?胸廓變動幅度並不大呀?

 

潛水中的浮力

潛水中的浮力

 

  當吸進一口空氣時,胸腔擴展所增加的體積是多少?雖然可能覺得胸腔擴展增加的體積不大,但已成為產生足夠「上升」浮力的關鍵。浮力等於排開液體的重量:

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  某天,網路上流傳的一段影片被同事看到了123+…+∞=?」

 


【數字狂(Numberphile):驚人的總和!】

 

  從1一直加到無限大的值竟然是一個「小於1的負數」?這個令同事非常震驚的結果,也就是所有自然數的加總竟然為:

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  這是「朋友的朋友」問的一個物理題目。雖然只高中程度但很有意思,問題看似簡單卻有意想不到的思維延伸,使我深受啟發。這個讓我重溫家教解題時光的高中物理題目,屬於牛頓第二運動定律:,探討力與運動的基本關係。

 

範例1:力與運動的關係探討

【範例1:力與運動的關係探討

 

  為何直線不通過原點呢?物理意義為該實驗裝置的初始狀態存在加速度,表示滑車一開始便具有一「下滑力」,即軌道傾斜導致有「重力分量」使滑車下滑。若傾斜角為θ,則該重力分量之重力加速度為。若不考慮摩擦或其他阻力並仔細分析,我們可繪簡單力圖如下:

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  質量流量計具有高精準度的優點,是近代流量測量技術的一大躍進。西元1832年,科學家發現流體在轉動的管內流動時會對管壁產生科氏力。西元1977年,美國Micro Motion公司根據科氏力效應的物理原理,研發出世界上第一台質量流量計。

 

Micro Motion質量流量計

Micro Motion質量流量計】

 

  體積流量需依壓力、溫度、密度等影響作修正,測量誤差大,但質量流量則不受影響,計算簡單又準確。不論科學研究、產品控制或成本核算,隨著計量水平的日益提高,質量流量計也使用得越來越廣泛。質量流量計(Mass Flow Meter)為利用科氏力效應來測量流體質量流量的一種儀器。

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  西元1926年,奧地利物理學家薛丁格(Erwin Schrödinger)發表薛丁格方程式(Schrödinger Equation),奠定了「量子力學」發展的基礎。

 

Erwin Schrödinger

Erwin Schrödinger

 

  這個最基本的量子力學方程式描述了一個量子系統如何隨時間演變的關係:

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高談闊論狹義相對論之後……

 

  Question:我被那兩個方程式給卡到定格,伽利略跟勞倫茲……我不太了解物理歷史和它出現的時空背景,為何忽然天外飛來一律?又是如何被理解和應用?後來YOUTUBE了伽利略變換,就比較可以理解那個xyz的實際想像:「A和B兩人,8:00的時候原本在同一點,後來B走直線回家,5分鐘後到達,如果在8:05時發生了一件事,這件事跟B的距離是。」以上的數值和運動都是相對的,但只有時間是絕對的,不因A和B在不同坐標系而有不同,但我還沒進展到勞倫茲那更大塊的方程式……

 

伽利略變換示意圖

【伽利略變換示意圖】

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高談闊論哈伯定律之後……

 

  Question:愛因斯坦的狹義相對論說「沒有任何物體的速度可以超過光速」。若狹義相對論是正確的,那「星系比光速快」不就違反了狹義相對論?……我知道後文有提到哈伯定律和狹義相對論定義「速度」是不一樣的,但這裡為什麼要特別提及狹義相對論呢?

 

能量E,質量m,光速c

【能量E,質量m,光速c

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  西元1929年,天文學家哈伯(Edwin Hubble)發現,星系遠離地球的速度(v)和該星系與地球的距離(d)成正比:v=Hd。其中,H為哈伯常數。

 

Edwin Hubble發現哈伯定律

Edwin Hubble發現哈伯定律】

 

  哈伯定律(Hubble's Law)是支持大霹靂理論的重要現象,證明了宇宙正在膨脹中,並依此回溯「宇宙從一個密度極大、溫度極高的太初狀態開始」的必然推論。宇宙彷彿從一個熱點開始爆炸,然後逐漸膨脹並降溫直到現在,大霹靂(Big Bang)之名也因此而來。

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上帝粒子的回信:

  預備知識-大霹靂、質量、物理定律。只要知道這三個物理名詞的意義,您應該就可以認識上帝粒子。(希望)

 

電腦模擬繪製的希格斯玻色子出現事件

【電腦模擬繪製的希格斯玻色子出現事件】

 

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萊布尼茲的微積分

 

  牛頓把微積分應用到物理上,而萊布尼茲則清楚整理出微積分的直觀思路和數學技巧。

 

萊布尼茲

【萊布尼茲】

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牛頓的微積分

 

  這場「誰發明微積分」之爭的關鍵,在於萊布尼茲到底有沒有受到「牛頓的微積分」啟發?

 

牛頓

【牛頓】

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是誰發明微積分(Calculus)?

 

  曾與當老師的朋友聊到微積分發展的歷史,名氣較大的牛頓(Isaac Newton;西元1643~1727年)發明微積分一般較廣為人知,但萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz;西元1646~1716年)對微積分也有非常深遠的影響與貢獻。牛頓和萊布尼茲為微積分的共同發明者已被今日學界所認定,不過他們卻是分別發展自己的微積分理論系統,兩人甚至為了「誰發明微積分」而一狀告上英國皇家學會。

 

萊布尼茲、牛頓

【萊布尼茲、牛頓】

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  美國的交通法規和台灣大同小異,但有一些特殊規則是台灣所沒有的。如果看到路旁立著一支紅底白邊的八角型標示牌,上面寫了白字的「Stop」,這就是「Stop Sign」。「You always have to stop at a stop sign.」,跟紅燈一樣,在美國開車時只要碰上Stop Sign,就一定要「完全停車」後才能通行,而且連「rolling stop」都會被視為沒有完全停車而開罰。

 

Stop Sign

 

  2012416NBC SanDiego報導了一則新聞Man Uses Physics to Fight $400 Traffic Ticket」,美國加州大學聖地牙哥分校(UCSD)的一位物理學家Dmirti Krioukov撰寫一篇論文報告,為自己「在先停再開的標誌區沒有停車」的罰單辯護。這篇題目為「The Proof of Innocence」的報告內容,不僅按照論文格式,而且物理公式、分析圖表俱全,並成功說服法官撤銷了這張400美元的罰單,於是「物理打敗罰單」的故事便傳了開來,成為茶餘飯後令人津津樂道的趣聞。

 

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  關於換熱器工程,討論到一個很有意思的問題:一根圓柱體塞入一橫躺的空心圓柱管,圓柱體的外徑幾乎與空心圓柱管的內徑一致,因此塞入時圓柱體面與柱管內壁密合而產生摩擦力,請問因此造成的麼擦力是多少?這個題目以前都沒想過,讓我覺得很有趣,於是做了一下分析。

 

換熱器

 

  首先要確定題目的定義,所謂「外徑內徑一致」在這裡是rough的,塞入的圓柱體外徑應該至少要比柱管內徑大,如此才會產生正向力N(σ)而造成摩擦力,但也不能太大,不然會塞不進去,所以這裡要講「一致」。這個N(σ)怎麼來留待稍後討論。

 

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  一個問題:光的最小波長極限在哪?探討這個問題之前,得先思考光波長的物理意義?光速為定值,波長與頻率為反比,而頻率與能量為正比:

 

v=λν波速,λ波長,ν頻率

E=hν能量,蒲朗克常數

 

 

光波長

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