阿衡的探秘地圖

　　星際效應（Interstellar；2014）是諾蘭繼黑暗騎士（The Dark Knight；2008）、全面啟動（Inception；2010）、超人：鋼鐵英雄（Man of Steel；2013）等膾炙人口的作品之後所執導的最新年度鉅作。

【星際效應電影海報】

　　克里斯多夫諾蘭（Christopher Nolan）電影最為人稱道的地方，就是故事架構龐大複雜，表現強烈的思考性邏輯卻又能引人入勝。「星際效應」不僅融合多元科幻元素，更嘗試把相對論、黑洞、時空旅行等艱難深奧的物理學理論加以連結，以電影藝術的方式普羅具像化呈現大眾面前，格局大膽而創新，令人印象深刻。

【Christopher Nolan】

　　為了考究電影科學，諾蘭特別邀請了物理學家基普索恩（Kip Thorne）擔任劇本顧問。索恩是當今世界上天文物理學領域的領導者，他以黑洞、重力波、蟲洞和時間旅行的理論研究為基礎，讓星際效應的劇情增添不少科學根據，把科幻電影帶入了更高層次的嶄新境界。

【Kip Thorne】

　　星際效應以愛因斯坦「廣義相對論」為科學基礎，電影中的劇情才能合理建立，不論蟲洞、黑洞、五次元（5-Dimension）的研究皆由廣義相對論衍生，具有嚴謹的物理學理論。其中最具代表性的廣義相對論現象，我想就是那「消失的23年」。

　　永續號任務來到一顆環繞「巨人」黑洞的Ａ星球，因為重力場非常強大，Ａ星球時間過的極度緩慢。馬修麥康納（Matthew McConaughey）飾演、一心想要趕回家看女兒的庫柏心急如焚，想要盡量縮短探索Ａ星球的時間，卻被滔天巨浪打得東倒西歪，不但損失一位同伴，還被迫待上兩個多小時。然而這一耽擱不得了，他們回到太空船上已經過去23年。

【星際效應劇照：Anne Hathaway與Matthew McConaughey】

　　庫柏看著從地球傳來的訊息，發現老父走了、兒子娶妻生子、女兒雖然成長卻對父親失望……對庫柏來說，原本可以通訊聯繫家人的23年光陰平白無故消失了，他等於在「家人的時間」中消失23年，這如何不讓極度恐慌的庫柏充滿了悔恨及悲痛呢？若時間再這樣「浪費」，趕回地球與家人相聚的機會渺茫。

廣義相對論的基礎：等效原理

　　「消失的23年」是如此巨大，導致庫柏如此悲傷，馬修麥康納的演技令人動容。其實這23年並非真的消失了，而是時間維度被強大的重力場壓縮放大，因此，庫柏和布蘭達雖然只用了幾小時探索Ａ星球，繞行黑洞的羅米利其實已經等了23年，而地球上家人的時間也過去了23年之久，其背後的物理即為「重力時間延遲」，簡單來說：重力場越強的地方，時間就會過的越慢。

　　狹義相對論中，彼此有相對速度的慣性座標系互相比較，可發現時間延遲的現象很普遍（參閱誰來對我高談闊論「狹義相對論」、「勞倫茲變換」），而愛因斯坦的廣義相對論則繼續探討「重力」對時空的影響。

【Albert Einstein】

　　等效原理（Equivalence Principle）是廣義相對論的基礎理論，由愛因斯坦分別在西元1911年的論文《關於引力對光傳播的影響》及1916年《廣義相對論的基礎》所提出。

　　愛因斯坦的「思想實驗」：想像在遙遠宇宙中有一艘太空船，太空船裡的太空人拿起一個鉛球，太空人不僅發現鉛球有重量，也感覺到自己有重量。這有兩種可能性，一是太空船正在加速前進，就像搭乘電梯往上升時，會感覺到有一股力量把我們往下拉，此即為加速度的「慣性力」；另一可能性則為太空船正停在一顆星球上，該星球的重力場造成了鉛球及太空人感覺到重量，此即為「重力」。

【等效原理的思想實驗】

　　這個思想實驗說明，太空船裡的太空人無法分辨到底是「慣性力」還是「重力」造成了重量感覺，兩者互為「等效」現象；重力場中的靜止座標系可「等效於」加速中的慣性座標系。等效原理的發現，讓人類首度意識並探討「慣性力」與「重力」的本質，如同愛因斯坦曾說：「我為它的存在感到極為驚奇，並且猜想其中必有一把可以更深入了解慣性和引力的鑰匙。」

庫柏的1小時＝家人的7年

【星際效應劇照：Ａ星球上的悲劇】

　　電影中，庫柏討論到Ａ星球的時間延遲現象，他們發現黑洞重力場之強大讓時間極度延遲，在Ａ星球上的時間每過1小時等於地球上流逝7年！「時間」成為必須考量的「消耗資源」，庫柏於是要求盡快完成登陸探索任務，以爭取日後與家人重逢的機會，沒想到卻發生意外，消耗那充滿悔恨與悲痛的23年時光……依據等效原理，我們可以讓重力「等效」慣性力，推導並證明「重力場越強的地方，時間就會過的越慢。」

【星際效應的等效原理】

　　假設Ａ星球與黑洞的距離為Ｒ並受到重力場ｇ，而庫柏的太空船與Ａ星球距離為ｈ且幾乎不受黑洞的重力場影響（時間流逝的速度跟地球一樣）。依等效原理，我們可以把Ａ星球視為正在加速遠離黑洞，造成等效黑洞重力場的「慣性加速度」。當Ａ星球加速遠離，距離黑洞剛好為Ｒ的瞬間，遠離速度為ｕ，此時Ａ星球往太空船發出光波，庫柏可觀察到光波的都卜勒效應：

　　其中，λ_船、Ｔ_船為庫柏觀察到的波長與時間，ｃ為光速。考慮相對速度的時間延遲：

　　其中，Ｔ_Ａ為Ａ星球上的時間。於是庫柏觀察到的都卜勒效應變成：

　　且：

　　又，ｆ為頻率：

　　因為遠離瞬間ｕ遠小於ｃ，所以，：

　　頻率為時間的倒數：

　　所以我們可以得到太空船與Ａ星球的時間轉換式，其中速度ｕ是「等效」慣性座標系的假想物理量，我們必須轉換成重力場中的某個等效物理量。考慮速度與加速度的關係：

　　Ａ星球受到黑洞重力加速度即為，而光波傳送的時間，所以速度ｕ可等效轉換為：

　　於是太空船與Ａ星球的時間轉換式變成：

　　Ａ星球受到黑洞重力場為：

　　其中Ｇ為重力常數、Ｍ為黑洞質量，得到：

　　於是我們可利用等效原理，簡單證明Ａ星球上流逝的時間被延遲了，比太空船上的時間還要慢；重力場越強的地方（Ａ星球），時間就會過的越慢。帶入電影中的設定，太空船與Ａ星球的時間轉換式即為：

黑洞質量有多大？

【星際效應劇照：巨人黑洞】

　　由太空船與Ａ星球的時間轉換式，我們可以概略評估電影中這顆「巨人」黑洞的質量到底有多大？代入重力常數與光速：

　　雖然Ｒ和ｈ仍為未知，但觀察上式並比較太陽質量（約為）仍可感覺黑洞質量Ｍ的巨大程度。目前人類所發現的最大黑洞位於距離地球13億光年外的Apr147星系之中，質量約為太陽的400億倍！假設Ａ星球所繞行的「巨人」黑洞為此質量，那麼太空船不受黑洞重力場影響（假設至少跟地球一樣）的距離為（Ｒ＋ｈ）：

　　以及：

　　可以求得Ｒ與ｈ的關係：

　　地球到太陽的距離為1天文單位（AU），約為一億五千萬公里（）。比較後可概略評估Ｒ約為10AU，幾乎是太陽到土星的距離。然而，考慮靜止黑洞的史瓦西半徑：

　　又「巨人」黑洞質量為太陽的400億倍：

　　其史瓦西半徑竟然高達800AU！表示在此臨界距離內都會掉進黑洞，更何況10AU……產生如此矛盾的結果，讓我們得考慮「巨人」必須為「旋轉黑洞」的可能性，來修正史瓦西半徑的矛盾。旋轉黑洞擁有「角動量」，也就是黑洞本身在轉動，所以除了自己的靜止質量，本身還有內禀轉動能量。因此，旋轉黑洞的總質能關係會有：

　　關於旋轉黑洞的廣義相對論計算非常複雜，但我們或許可以用「質能互換」與「等效」的觀念來做非常簡單的近似修正。原來「巨人」黑洞400億倍太陽的質量，可視為總能量的「等效質量」，並假設其史瓦西半徑為10AU（不考慮參考系拖曳現象），也就是說，考慮最極端的形況，Ａ星球剛好位於臨界距離而不會掉進「巨人」黑洞，則「靜止質量」為：

　　所以總質能關係為：

　　其中Ｍ_Rot為轉動能量的「等效質量」，約佔「巨人」黑洞總能量的98.75%，因此「巨人」必須為一個旋轉黑洞，而且以非常高速的頻率轉動。旋轉黑洞的設想或可避免矛盾，並視內禀轉動能量來決定該黑洞邊界的範圍。若繼續考慮「參考系拖曳」或「吸積盤」等現象，黑洞的臨界距離應該會更為縮小。

【星際效應劇照：登陸Ａ星球】

　　計算得到Ｒ為10AU，亦可求出ｈ約為5000AU，此為黑洞重力場與地球一樣的距離，但此距離對太空船出發到登陸Ａ星球似乎太遠了……然而，若黑洞總能量再小一些，或「時間消耗」能控制在容忍範圍，庫柏的太空船便可更接近這顆「巨人」，或許就更符合電影中的實際情況吧！