阿衡的探秘地圖

　　關於換熱器工程，討論到一個很有意思的問題：一根圓柱體塞入一橫躺的空心圓柱管，圓柱體的外徑幾乎與空心圓柱管的內徑一致，因此塞入時圓柱體面與柱管內壁密合而產生摩擦力，請問因此造成的麼擦力是多少？這個題目以前都沒想過，讓我覺得很有趣，於是做了一下分析。

　　首先要確定題目的定義，所謂「外徑內徑一致」在這裡是rough的，塞入的圓柱體外徑應該至少要比柱管內徑大，如此才會產生正向力Ｎ(σ)而造成摩擦力，但也不能太大，不然會塞不進去，所以這裡要講「一致」。這個Ｎ(σ)怎麼來留待稍後討論。

　　另外，塞入時的推力情況需假定為最佳化、施力方向平行管壁且均勻、塞入圓柱體為剛性可應變體、空心圓柱管為完全不應變之剛體。

　　摩擦力怎麼來？定義摩擦力Ｆ＝μＮ，μ為摩擦係數，Ｎ為接觸面之間正向力，所以題目的關鍵在於Ｎ。由物理直覺來思考，Ｎ的來源有二：圓柱體本身的重量Ｗ，以及塞入管內時形變所造成的應力σ。

　　以下探討Ｎ的這二個來源：

　　1.圓柱體本身的重量Ｗ所造成的，很簡單可得Ｆ(Ｗ)＝μＷ。

　　2.圓柱體塞入管內時形變所造成的應力σ所造成的Ｎ(σ)。

　　這裡要討論圓柱體塞入形變後，外徑改變量ΔＲ與長度改變量ΔＬ之間的關係。首先，由應力公式：

　　其中Ｅ為楊氏係數，ε為線應變 ΔＬ/Ｌ，圓柱體與管壁的接觸面積Ａ＝２πＲＬ。可得

　　外徑改變量ΔＲ與長度改變量ΔＬ之間的關係可由體積相等來計算，設圓柱體體積為πＲ^２Ｌ，形變後之體積為πＲ_ｆ^２（Ｌ＋ΔＬ），而ΔＲ＝Ｒ－Ｒ_ｆ。因為體積不變

　　(ΔＲ)^２之值很小可忽略：

　　求得Ｆ(σ)：

　　由以上分析可得ΣＦ＝Ｆ(Ｗ)＋Ｆ(σ)，但由於Ｆ(σ)中的相當小ΔＲ/Ｒ，(ΔＲ/Ｒ)→0，故Ｆ(σ)→0，因此題目的問題可得到一個很簡單的近似解答：

Ｆ＝Ｆ(Ｗ)＝μＷ

　　雖然解答很簡單，但探討時必須要考慮另一個造成Ｎ的重要來源：形變。而由此可再延伸出其他問題如若以直立方式塞入時狀況又是如何？……這都是很有趣的問題。