阿衡的探秘地圖

　　美國的交通法規和台灣大同小異，但有一些特殊規則是台灣所沒有的。如果看到路旁立著一支紅底白邊的八角型標示牌，上面寫了白字的「Stop」，這就是「Stop Sign」。「You always have to stop at a stop sign.」，跟紅燈一樣，在美國開車時只要碰上Stop Sign，就一定要「完全停車」後才能通行，而且連「rolling stop」都會被視為沒有完全停車而開罰。

　　2012年4月16日NBC SanDiego報導了一則新聞「Man Uses Physics to Fight $400 Traffic Ticket」，美國加州大學聖地牙哥分校（UCSD）的一位物理學家Dmirti Krioukov撰寫一篇論文報告，為自己「在先停再開的標誌區沒有停車」的罰單辯護。這篇題目為「The Proof of Innocence」的報告內容，不僅按照論文格式，而且物理公式、分析圖表俱全，並成功說服法官撤銷了這張400美元的罰單，於是「物理打敗罰單」的故事便傳了開來，成為茶餘飯後令人津津樂道的趣聞。

　　回到當時的案發現場，Dmirti Krioukov駕車行經Stop Sign時，被警察認為沒有完全停車而開了罰單。當時道路有兩條車道，在他車身較短的Toyota Yaris和警察之間，還有另外一輛車身較長的車子，且兩輛車幾乎同時通過Stop Sign。Dmirti Krioukov以四頁篇幅的物理論文向法庭證明，由於另一輛車的遮擋，即使自己停了車，卻仍然存在讓警察誤認為沒有停車的可能性。

　　這篇論文很早就被公布在科學論文預印本網站arXiv.org（原文）上供人下載。以下就讓我們來瞧瞧Dmirti Krioukov是如何論證自己是無罪的吧！

等速移動中的物體，怎會有「速度變化」？

　　論文首先以火車進站為例，乘客在月台上觀察火車從遠方駛近，火車距離很遠時，看起來幾乎像是不動的，但當火車通過月台，乘客感受到的速度則非常快。雖然火車行駛的直線速度不變，但月台上的乘客卻會觀察到不同的速度感受。

【Fig.1】

　　還原案發現場，如圖【Fig.1】，警察（Ｏ）站在距道路（Ｌ）的垂直距離為r₀處觀察一通過Stop Sign（Ｓ）的車輛（Ｃ）。與火車進站的例子相同，警察觀察駛近的車輛時也會感受到不同的速度變化，為什麼會有這樣的感覺呢？因為實際上警察所觀察的並非車輛沿著道路行駛的直線速度ｖ，而是車輛行駛在道路上相對於Ｏ的角度α變化率，此觀測物理量即為角速度ω。雖然Ｃ的直線速度不變，但當Ｃ越駛越近，ω的變化率也越大，於是Ｏ就會有「移動速度」越來越快的感覺。

等速、感覺「速度變化」，角速度ω

　　設車輛以等速度行駛：

　　由角速度的物理定義：

　　正切三角函數與其反函數關係：

　　求反正切三角函數的導數：令

　　得到：

　　鍊鎖律：

　　由以上各項關係式可求ω及繪圖：

　　若車速v₀=10m/s，r₀=10m，警察所觀察到的角速度如圖【Fig.2】所示，證明了當車輛越駛越近時，警察所感受到的速度感會越來越快。

【Fig.2】

減速、靜止、再加速，角速度ω

　　考慮車輛以加速度a₀從v₀減速到在Ｓ處完全靜止，再以同樣的起動加速度到原來的速度v₀的情況。從開始減速到在Ｓ處完全靜止車輛行駛的距離為：

　　同樣可求得ω及繪圖：

【Fig.3】

　　曲線在t=0會急遽落到0，如圖【Fig.3】，車速v₀=10m/s，r₀=10m，加速度a₀為1、3、10m/s²的情況下，警察所觀察到的角速度變化。比較藍色曲線的峰值，若車輛減速與加速過程中的加速度越大，則兩處峰值的時間間距越窄、越接近圖【Fig.2】的曲線，說明了如果視線被遮擋，在極短時間差的情況下，警察確實有可能會沒看到車輛曾經完全靜止，於是存在有誤判的可能性。這就是Dmirti Krioukov辯護的立論依據與關鍵。

在Ｓ處附近（t=0），視線被短暫遮擋

　　當時Dmirti Krioukov的Toyota Yaris和警察中間，還有另外一輛車身較長的車子一起同時通過Stop Sign（可能是Subaru Outback），如圖【Fig.4】所示，Toyota Yaris的車身長L₁=3.81m，可能是Subaru Outback的車身長L₂=4.80m。根據Dmirti Krioukov的陳述，當天因為天氣寒冷導致他生病感冒，在接近Stop Sign減速時打了一個大噴嚏，所以剎車踩得很猛，若假設a₀=10m/s²會比較符合當時的情況。

【Fig.4】

　　以Ｓ（t=0）為原點，設t_p為警察視線被部分遮擋到的時間，t_f為全部遮擋的時間，在減速和加速過程中需要的時間則為t’，現在的關鍵就是要比較t_p、t_f和t’。

　　計算t_p：Toyota Yaris車頭進入可能是Subaru Outback遮擋範圍時開始計時，警察所觀察到的行車距離X_p=L₁+L₂=8.61m

　　計算t_f：Toyota Yaris完全被可能是Subaru Outback遮擋住的行車距離X_f=L₂-L₁=0.99m

　　計算t’：圖【Fig.3】，由

　　曲線的極大值發生在切線斜率為0處

　　由以上計算得：

警察的錯覺導致誤判

【Fig.5】

　　如圖【Fig.5】，雖然Dmirti Krioukov的Toyota Yaris實際上的角速度是藍色曲線並在Stop Sign「完全停車」，但因為另一輛車的阻擋，警察觀察到的是紅色虛線，沒有看到中間減速停止再加速的過程。警察「錯覺」中所看到的是比較接近紅色實線的情形，於是認為Dmirti Krioukov的Toyota Yaris是以8m/s的等速度直接通過Stop Sign的，這可能就是警察「誤判」而對他開出罰單的原因。

總結

　　根據以上分析，Dmirti Krioukov總結了三種讓警察可能做出誤判的原因： 

警察不是以可精確測量的儀器設備來觀測車輛的線速度，而是以肉眼評估車輛的角速度。

車輛在減速和加速過程中的加速度量值較大。

在時間t=0附近，警察的視線被另外一輛車阻擋了。

 　　Dmirti Krioukov根據這個理論說服了法官，於是「物理打敗了罰單」，物理學家統治世界…… 

物理學家的詭辯？

　　乍看之下Dmirti Krioukov的論文很有道理，不過再仔細思考，其中的推導是有瑕疵的。若考慮車輛性能，Toyota Yaris從靜止加速到100km/hr，最快需要9.3秒的時間，則可求得加速度：

　　所需的最大加速度約只有3m/s²，不能達到論文中所宣稱的10m/s²，因此很可能Dmirti Krioukov實際上並沒有在Stop Sign處完全停車吧……法官是不是被騙了？Dmirti Krioukov只是做了物理學家最擅長的事情：「假設完美條件」，然後利用物理知識讓法官相信了這樣的可能性，你情我願，如此而已。 

　　物理學家如何統治世界？見識這個故事之後，我想應該可以這麼說：欺負人家是外行。