是誰發明微積分(Calculus)?

 

  曾與當老師的朋友聊到微積分發展的歷史,名氣較大的牛頓(Isaac Newton;西元1643~1727年)發明微積分一般較廣為人知,但萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz;西元1646~1716年)對微積分也有非常深遠的影響與貢獻。牛頓和萊布尼茲為微積分的共同發明者已被今日學界所認定,不過他們卻是分別發展自己的微積分理論系統,兩人甚至為了「誰發明微積分」而一狀告上英國皇家學會。

 

萊布尼茲、牛頓

【萊布尼茲、牛頓】

 

  西元1710年,萊布尼茲被指控抄襲牛頓的微積分研究,由於心胸狹窄的牛頓是英國皇家學會會長,調查結果當然可想而知。西元1713年,德國數學家萊布尼茲被判有罪,並認為牛頓才是微積分的第一發明人。

 

  經過近代考證,雖然確認萊布尼茲的微積分是獨立發展出來的系統,但直到萊布尼茲去世後將近百年,他的微積分成就仍受到英國的冷漠對待,而牛頓與萊布尼茲的「誰發明微積分」之爭,更造成了英國與歐洲大陸科學界之間的決裂。英國沉醉於牛頓的微積分成就,執著於牛頓的極限觀念與古典幾何表示法,卻忽視了萊布尼茲的微積分符號與無窮小的想法,讓英國與歐洲大陸數學與物理的發展進步脫節。西元1813年,等到英國科學家逐漸夢醒,開始學習萊布尼茲的微積分時,英國的科學研究早就落後了歐洲大陸好一大截了。

 

  不可否認,牛頓與萊布尼茲的微積分成就同樣偉大並影響後世深遠。雖然想法不同、貢獻各異,但他們都同樣表現了人類心智發展的高度結晶成果。其實微積分的概念,在牛頓和萊布尼茲之前就已經有了。從歷史角度來看,微積分理論的發展經過了長時期醞釀,才成為一門有系統的學問,並影響科學發展深遠。

 


 

積分(Integral),從積面開始

 

  往前追溯約四千多年,埃及進入了農業時代,人民開始有土地丈量的需求,「面積問題」於是成為一門重要題目,而「圓形」面積的求法,更直接導致了積分概念的產生。因為圓周率π是無理數,當時人們只能用經驗取π的近似值來計算圓形的面積,直到西元前三世紀左右,希臘人阿基米德(Archimedes;西元前287~212年)以圓內接及外切正多邊形,以「窮盡法」重覆計算近似圓周長,到正96邊形時得π值介於之間。

 

阿基米德

【阿基米德】

 

  大約西元260年,中國人劉徽(三國時代魏國數學家,生卒年不詳)以正多邊形的面積逼近圓面積,算到3072邊形得π值為3.14159,而南北朝時期的祖沖之(西元429~500年)更來到正16384邊形,使π值精確到3.1415926~3.1415927之間,以當時沒有計算機、只能靠紙筆手算的時代,能得到這樣精準的結果實在很了不起。

 

劉徽

【劉徽】

祖沖之

【祖沖之】

 

  理論上,只要重覆「無限次」增加並計算正多邊形面積的步驟,就能算得真正的π值,也就能得到圓形的面積。在人類挑戰面積的過程中,以「無窮逼近」的觀念逐漸成形,成為積分理論的基礎。

 

以圓內接或外切正多邊形逼近圓面積,其逼近原理為積分理論的基礎 

以圓內接或外切正多邊形逼近圓面積,其逼近原理為積分理論的基礎

 


 

微分(Differential),從瞬間啟動

 

  微分的發展則較積分晚,直到十七世紀,物理與天文學的進步,讓伽利略(Galileo Galilei;西元1564~1642年)與克卜勒(Johannes Kepler;西元1571~1630年)分別開始對落體運動、行星運動進行研究。為了觀察動態的世界,使得速度、加速度等「切線問題」成為探討物體運動的重要課題。

 

伽利略

伽利略

克卜勒

【克卜勒】

 

  微分的觀念,可以從探討「瞬時速度」的角度來一窺究竟。下式表示瞬時速度(V)為時間對距離「微分」:

 

  

 

  速度是距離對時間的變化率,在數學上的定義為距離差在某一時間差的「切線斜率」,當時間差趨近於「瞬間」(Δt→0),「無窮小」的觀念便衍生了。到底「瞬間」有多短?「無窮小」又是什麼?這都是架構微分理論的基礎。

 

切線問題探討物體運動速度,其瞬時現象為微分理論的基礎

【切線問題探討物體運動速度,其瞬時現象為微分理論的基礎】

 


 

  「無窮小」與「無限次」,微積分集合了「微分」與「積分」,是一門研究極限和無窮的數學,更深層的涵義為一門探討「變化」的科學。不論幾何學或代數學,微積分以「分析」的方式,從本質上直接處理函數變化的問題。

 

  很多人認為微積分很抽象,但我不太同意這樣的看法。微積分之所以能行得通,就像物理學的原子世界,微積分很直觀呈現了真實世界的基本組成,並闡述了真實世界的運作樣貌。(續)

一時瑜亮。微積分(中)

一時瑜亮。微積分(下)

 

 

 

 

 

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