萊布尼茲的微積分

 

  牛頓把微積分應用到物理上,而萊布尼茲則清楚整理出微積分的直觀思路和數學技巧。

 

萊布尼茲

【萊布尼茲】

 

  萊布尼茲被德國政府派駐法國巴黎是在西元1672~1676年,他遇到了當時歐洲大陸最有學問的惠更斯(Christiaan Huygens;西元1629~1695年)。受到惠更斯的啟發和鼓勵,激起萊布尼茲對數學的興趣和熱情。在巴黎的這段時光,成就了萊布尼茲創造微積分的顛峰。

 

惠更斯

【惠更斯】

 

  西元1676年,牛頓曾兩次寫信給萊布尼茲敘述他在無窮級數上的發現,而這兩封信竟成為日後兩人「誰發明微積分」之爭的導火線。牛頓認為萊布尼茲先剽竊了自己的無窮級數觀念,才有萊布尼茲的微積分。

 

  在前信(epistola prior)中牛頓寫下他的二項式定理,而後信(epistola posterior)則提示了比萊布尼茲計算圓周率的級數收斂更快的無窮級數。然而,牛頓在信中並沒有給出證明,所以萊布尼茲其實在這兩封信中並沒有學到什麼新的啟發。此外,從西元1684年起陸續發表的論文看來,萊布尼茲的微積分在精神與方法上都與牛頓大不相同。牛頓的微積分繁瑣且複雜,而萊布尼茲的微積分卻清楚且直觀,尤其是他發明的微積分符號更被一直沿用至今,影響人類科學發展深遠。

 


 

萊布尼茲法則(Leibniz Rule

 

  西元1684年,萊布尼茲發表了第一篇微積分論文《Nova Methodus pro Maximis et Minimis》(極大與極小的新方法)。在這篇文章中,萊布尼茲首次引進他的微分符號:

 


 

  其中,,表示一個分割系統的每一小段。當分割越來越細密時,甚至作到無窮步驟的分割,使得每一小段都變成無窮小()。為「無窮小」之意,表示「不等於零並且要多小就有多小」的微積分重要觀念,萊布尼茲利用這個觀念

 


 

  的高次項比無窮小還要更小,可棄之,得:

 


 

  即為指數函數微分的基本公式。萊布尼茲還給了微分的四則運算公式:

 

 

  (2)式為微分的乘法律,今日叫做「萊布尼茲法則」。萊布尼茲法則看起來雖然簡單,但卻是經過嚴謹數學論證的結果,而(3)式的除法律也只是萊布尼茲法則的應用而已。只要知道簡單函數的微分,透過萊布尼茲的微分公式,就能組合求得其他更複雜函數的微分了。

 

 


 

萊布尼茲的積分符號:∫(Summation

 

  萊布尼茲在西元1686年發表《論一深度隱藏的幾何學及無窮小與無窮大的分析》,讓積分符號「∫」正式公諸於世。

 


 

  如上圖所示,若要求得函數在區間的積分值,可以想像將分割成許多小段,而每一小段皆有應對到其。若,則積分就是這些無窮小長條矩形面積連續累積到的和。萊布尼茲在1693年的論文中寫到:

 


 


 

  上式即為著名的「Newton-Leibniz積分公式」,是牛頓和萊布尼茲分別各自獨立發現的結果。萊布尼茲把求和(Summation)的第一個字母S拉伸,創造了優美的積分符號「∫」,表示連續求和之意。為無窮多個無窮小長條矩形面積的連續求和,此乃積分之基本涵義,確立了微分與積分、「極限」與「無窮」為互逆的觀點,一體兩面。利用微分法,我們能系統地解決求積分的問題,這是人類科學發展史上的偉大一刻。 

 


 

  同樣可以從圓函數的微積分計算,來了解萊布尼茲符號的創意和便利。如圖,作一單位圓,則:

 

  

 

  由相似三角型關係,比較不同的參數對函數y作微分,會有

 

  

 

  右式中,可使分子與分母同乘

 

 

 


 

  以數學邏輯運算,很快就能得到正弦函數的微分。萊布尼茲符號的數學直觀性不禁令人讚嘆。

 


 

  不同於牛頓的方法,萊布尼茲「以簡馭繁」,讓微積分有了全盤系統化的處理方法,充分表現出更簡潔、更直觀的數學性,這就是萊布尼茲微積分的偉大貢獻。(全文完)

一時瑜亮。微積分(上)

一時瑜亮。微積分(中)

 

 

 

 

 

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