關於換熱器工程,討論到一個很有意思的問題:一根圓柱體塞入一橫躺的空心圓柱管,圓柱體的外徑幾乎與空心圓柱管的內徑一致,因此塞入時圓柱體面與柱管內壁密合而產生摩擦力,請問因此造成的麼擦力是多少?這個題目以前都沒想過,讓我覺得很有趣,於是做了一下分析。

 

換熱器

 

  首先要確定題目的定義,所謂「外徑內徑一致」在這裡是rough的,塞入的圓柱體外徑應該至少要比柱管內徑大,如此才會產生正向力N(σ)而造成摩擦力,但也不能太大,不然會塞不進去,所以這裡要講「一致」。這個N(σ)怎麼來留待稍後討論。

 

  另外,塞入時的推力情況需假定為最佳化、施力方向平行管壁且均勻、塞入圓柱體為剛性可應變體、空心圓柱管為完全不應變之剛體。

 

  摩擦力怎麼來?定義摩擦力F=μN,μ為摩擦係數,N為接觸面之間正向力,所以題目的關鍵在於N。由物理直覺來思考,N的來源有二:圓柱體本身的重量W,以及塞入管內時形變所造成的應力σ。

 


 

  以下探討N的這二個來源:

 

  1.圓柱體本身的重量W所造成的,很簡單可得F(W)=μW。

  2.圓柱體塞入管內時形變所造成的應力σ所造成的N(σ)。

 

  這裡要討論圓柱體塞入形變後,外徑改變量ΔR與長度改變量ΔL之間的關係。首先,由應力公式:

 


 

  其中E為楊氏係數,ε為線應變 ΔL/,圓柱體與管壁的接觸面積A=2πRL。可得

 


 

  外徑改變量ΔR與長度改變量ΔL之間的關係可由體積相等來計算,設圓柱體體積為πR,形變後之體積為πR(L+ΔL),而ΔR=R-R。因為體積不變

 


 

  (ΔR)之值很小可忽略

 


 

  求得F(σ):

 


 

  由以上分析可得ΣF=F()+F(σ),但由於F(σ)中的相當小ΔR/,(ΔR/R)→0,故F(σ)→0,因此題目的問題可得到一個很簡單的近似解答:

 

F=F()=μW

 


 

  雖然解答很簡單,但探討時必須要考慮另一個造成N的重要來源:形變。而由此可再延伸出其他問題如若以直立方式塞入時狀況又是如何?……這都是很有趣的問題。

 

 

 

文章標籤
創作者介紹

想和妳看棒球

BMC 發表在 痞客邦 PIXNET 留言(0) 人氣()