一個問題:光的最小波長極限在哪?探討這個問題之前,得先思考光波長的物理意義?光速為定值,波長與頻率為反比,而頻率與能量為正比:

 

v=λν波速,λ波長,ν頻率

E=hν能量,蒲朗克常數

 

 

光波長

 

  所以波長越小,光的能量越大。

 

  從量子力學的觀念來看,光的波長不可能無限小,因為那代表光所攜帶的能量為無限大,那違反物理直覺。所以光的波長必有最小極限,這符合測不準原理以及量子力學的核心量子化(quantization,光的波長或能量是不連續的,光可量子化,故可以光子稱之。

 

  若光子的波長有最小極限,則能量也就有最大限制。那麼原來的問題就變成:光子的最大能量條件為何?

 

  宇宙中最極端的東西應該是黑洞,極小的空間中有極大的能量,如果我們不斷壓縮一個光子……直到它塌縮變成黑洞前,在光子還是光子時的那一瞬間的臨界波長,可以假設為光子的最小波長極限。所以光子的最小波長一定有個臨界值,因為若再小的話光子就會變成黑洞。

 

黑洞

 


 

  假設一帶有質量M之粒子變成黑洞,就算以光速C也無法逃脫。由物體逃脫條件:

 


 

  依相對論性變換:

 

 

 


 

  當m的速度V→C,則r→R,即為該粒子塌縮為黑洞前的最小臨界半徑R為:

 


 

  若把粒子換成光子,想像一個光子以最小波長λ侷限在半徑為R的球體空間中,對三維空間的徑向座標維度來說,光子的最小臨界半徑R即為λ/2,這就是光子在徑向座標維度上的最小波長極限,但是因為光子無質量,所以不能代M進去算……想到一個等效類比的方法,利用質能轉換公式:

 

 E=MC

 

 

愛因斯坦

 

  使逃脫條件中的M代換成/,並且由光子能量公式:

 

E=hν=hC

 

  這是三維空間中單一光子的總能量。在光子變成黑洞的臨界條件中,假設可以直覺認為每一維度的能量貢獻是總能量的三分之一假設表述:在N為空間中有一純量場(能量)均勻分布,則每一維度上的純量值,為N維空間中純量場總和的N分之一。):

 


 

  於是在徑向座標維度:

 


 

  其中為徑向座標維度上的極限半徑,1d為每一維度上的質量,M3d為三維空間的總質量。把在徑向座標維度上的最小臨界半徑中的R1d代換成波長λ的函數後,就能計算出光子的最小波長:

 

 

  其中,重力常數G=6.667×10-11,光速C=2.998×108,蒲朗克常數h=6.626×10-34。最後所算出的光子最小波長λ極限近似等於4.675×10-35公尺。由此結果可以估算最小可度量時間T=λ/C=1.559×10-43秒。

 


 

  考慮四維時空,則每一維度的能量是總能量的四分之一。在每一維度方向上:

 


 

  以及徑向座標維度:

 


 

  考慮四維時空,計算光子的最小波長:

 


 

  光子最小波長λ極限近似等於λ=4.409×10-35公尺。最小可度量時間T=1.351×10-43秒。

 

 

 

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