廣義相對論(General Relativity)預言,當質量處於轉動狀態時會對時空造成拖曳和扭曲,此現象可以想像成一浸在水中的旋轉球對周圍流體產生的擾流現象。NASA在西元2004年發射了一顆科學探測衛星-重力探測器B(Gravity Probe B;GP-B),這個任務實驗的目的是測量地球自轉周圍時空曲率。GP-B在地球的極軌道上持續公轉,利用衛星上高精密度的陀螺儀來精確測量角動量的細微變化,證明了地球重力場中的時空扭曲與廣義相對論效應。關於重力探測器B實驗的計畫與任務細節可至NASA官網-Gravity Probe B:The Relativity Mission 

 

Gravity Probe B任務實驗示意圖

Gravity Probe B任務實驗示意圖

 

  廣義相對論對質量影響時空扭曲現象的描述,是以「愛因斯坦重力場方程式」來表達。雖然愛因斯坦方程式的形式看起來很簡單,但實際上它是一組「能量-動量張量」方程式,不僅包含二階非線性微分方程式的複雜計算,還需要應用張量難解的數學技巧,這一般多少都會在直觀上的理解產生阻礙。「重力電磁性理論(Gravitoelectromagnetism;GEM)」則是探討轉動質量對周圍時空影響的一套類比理論,於西元1893年由Oliver Heaviside建立,雖然早於相對論,但其基礎框架仍可沿用到1915年發表的廣義相對論及以其為基礎發展的重力磁性理論之中。

 

Oliver Heaviside

Oliver Heaviside

 

  GEM與電磁學沒有直接關連,能不用到廣義相對論難解的愛因斯坦方程式,即以重力類比電磁學的角度,可以很好來理解旋轉質量對周圍物體運動造成的細緻影響。旋轉電荷會產生電場和磁場,類比質量旋轉時,除了原有的重力場(重力電性)外,還會產生稱為「重力磁場(重力磁性)」的相伴場。若考慮旋轉質量的重力磁性,將使得由牛頓重力學計算周圍物體運動的行為有所偏差,如自由落體產生旋轉以及環繞的自轉物體發生進動等現象。GP-B即為一顆環繞巨大轉動質量(地球)的自轉物體(陀螺儀),其任務實驗精確測量進動偏差Ω

 


 


 

參考系拖曳效應

 

  廣義相對論預言,轉動質量會對周圍時空產生拖曳,此現象稱為參考系拖曳效應(Frame-dragging Effect),環繞地球公轉的GP-B的陀螺儀將會受到此效應影響而產生進動。由重力電磁性理論作類比,可推導出參考系拖曳造成的進動方程式。由重力電磁理論,思考轉動中的質量可類比為轉動中的電荷,轉動電荷將會產生磁矩。

 

磁矩

磁矩

 

  磁場B與向量位勢A的關係

 


 

  磁矩(Magnetic Dipole Moment)的向量位勢

 


 

  其中

 


 

  由重力電磁性理論,比較方程式之形式,角動量可與磁矩作類比,而常數部分可直接替換。由轉動質量造成重力磁場的向量位勢可寫成

 


 

  其中,角動量為

 


 

  球體(地球)的轉動慣量

 


 

  代入可得到重力磁場的向量位勢

 


 

  寫成球座標的向量形式與各分量

 


 

  計算重力磁場

 




 

  其中,由極座標單位向量關係式

 


 

  還有

 


 

  然後可繼續導得

 


 

  其中有內積關係式

 


 

  與單位向量

 


 

  所以可推導出

 


 

  其單位為頻率,亦可轉換為進動之角頻率

 


 

  此即為參考系拖曳進動(Frame-dragging Precession;FDP

 


 

  由西元2011年的分析論文,GP-B測得的參考系拖曳效應進動率為每年37.2±7.2毫角秒(milliarcsecond;mas),與廣義相對論預測值39.2差異為5%,誤差在0.19%

 


 

測地線效應

 

  廣義相對論預言,重力場中時空曲率的扭曲將會對自轉運動的物體造成影響,此即為測地線效應(Geodetic Effect),讓自轉運動物體的角動量產生沿著測地線的進動。由於軌道角動量與自轉角動量的耦合作用,環繞地球公轉的GP-B的陀螺儀將會受到此效應影響而產生進動,此現象也可從重力電磁性理論的觀點來理解。

 

  類比量子力學中電子的自旋角動量與軌道角動量交互作用的校正,造成湯瑪斯進動(Thomas Precession),其物理方程式為

 


 

  其中

 


 

  在非相對論極限,也就是公轉物體運動速度遠小於光速的情況下

 


 

  湯瑪斯進動方程式可表示為

 


 

  代入地球的重力加速度(重力電性的影響)

 


 

  此即為湯瑪斯進動類比得出的測地線進動(Geodetic Precession;GP

 


 

  然而,實際上這種軌道-自旋角動量交互作用所導致的進動,在全部的測地線進動中只起到三分之一的貢獻。考慮時空曲率的影響,真正的測地線進動應為3倍:

 


 

  另外的三分之二貢獻則來自廣義相對論的預言,簡單來說,平直時空中沿軌道運動的自轉角動量方向,將會隨著重力場中的時空扭曲而傾斜,垂直於運動平面的角動量在平面發生彎曲後定然會改變其向量方向。

 

時空彎曲中角動量方向發生改變

時空彎曲中角動量方向發生改變

 

  由西元2011年的分析論文,GP-B測得的測地線效應進動率為每年6601.8±18.3毫角秒,與廣義相對論預測值6606.1差異為0.07%,誤差在0.28%

 

 

 

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