某天,網路上流傳的一段影片被同事看到了123+…+∞=?」

 


【數字狂(Numberphile):驚人的總和!】

 

  從1一直加到無限大的值竟然是一個「小於1的負數」?這個令同事非常震驚的結果,也就是所有自然數的加總竟然為:

 


 

  為了證明這個「匪夷所思」的結論,首先,影片中的物理學家先定義一個無窮數列S

 


 

  接著利用S得到另一個無窮數列S

 


 

  再經過巧妙的「錯位計算法」而有以下關係式:

 


 

  最後導出驚人的「瘋狂結果」:

 


 


 

  Question:這個讓人摸不著頭緒的「瘋狂結果」到底是啥鬼?難道我們被數學魔鬼的戲法給愚弄了嗎?

 

  能得到如此「瘋狂結果」的關鍵,在於如何去定義S這個無窮數列的值,也就是「格蘭迪級數(Grandi's Series)」:

 


 

  西元1703年,義大利數學家格蘭迪(Guido Grandi)發表格蘭迪級數。格蘭迪級數屬於「發散級數」,一般是沒有「和」的,因為隨著逐項延續,其值總是為01反覆變動,不會收斂到一個極值,所以其「和」不存在。

 

Guido Grandi

【Guido Grandi】

 

  但如果對格蘭迪級數進行一些「特別」的求和處理,就會有特定「和」出現。以收斂級數求和的方法:

 


 


 


 

  我們可以輕易得到的結果。但若真的要講究其中的數學,我們在某種程度上的確是被「愚弄」了,畢竟上述計算S的方法只能用在收斂級數,但S是發散級數,因此能否適用還是個大疑問……

 


 

  若S是以不嚴謹的數學計算所定義,那麼由S導出「123+…+∞=-1/12」的「瘋狂結果」只是某種被數學魔鬼玩弄的瘋狂小把戲嗎?或許不盡然如此,在大自然中有許多「物理現象」總是指引出意外的結果,其中之一就是「卡西米爾效應(Casimir Effect)」的發現。

 

Hendrik Casimir

【Hendrik Casimir】

 

  西元1948年,荷蘭物理學家卡西米爾(Hendrik Casimir)預言了一種現象並且隨後被證實:在真空中,兩片中性(不帶電)的金屬板會出現吸力,只有在兩金屬板距離非常微小時,才能測量到這樣的現象。

 

卡西米爾效應

【卡西米爾效應】

 

  「量子場論」引進「波動-粒子二象性」並結合場(Field)與量子力學(Quantum Mechanics)的觀念,簡單來說,空間中各式各樣的物理場(如電磁場)是能被量子化的。想像物理場的「量子化」是在空間中充滿了「諧振子」,場的強度大小則可看作諧振子作簡諧運動的振動位移,因此能傳播場的振動而造成作用力(如電磁力)。

 

真空中充滿「諧振子」示意圖

【真空中充滿「諧振子」示意圖】

 

  發現「卡西米爾效應」顛覆了我們對「真空」的認知,這種現象在古典物理學中是絕對不會出現的。根據量子場論「真空不空」的觀念,即使在沒有任何物質存在的真空中仍會有能量漲落。因此,卡西米爾效應為「真空能量的變化」導致兩金屬板產生吸引力,表示即使在真空中也會有複雜的能量分布。

 

  量子化並約化最小能量單位,我們可以想像「真空場」的簡單概念:真空場由與許多振動位移為「1與-1」的諧振子所組成,以趨近無限的數量充滿了整個真空並作簡諧震盪,具有「1與-1」的能量特徵值,且彼此相消而得到「零值」,此即為真空狀態的概念。因此,真空能量分布可類比為「1111+1-1…」的無限加總……咦!熟悉的格蘭迪級數忽然出現了!難道它可以跟真空能量扯上關係?「1+2+3+…+∞=-1/12」到底是啥鬼?

 


 

一維諧振子示意圖

【一維諧振子示意圖】

 

  既然「1-1+1-1+1-1…」可類比為真空能量分布,那麼我們就以諧振子的觀念與波動方程式(參閱:誰來對我高談闊論「薛丁格方程式」)來計算看看。簡化成一維諧振子問題,設振子質量為m,其位勢能為:

 


 

  所以哈密頓算符:

 


 

  代入薛丁格方程式

 


 


 

  為了解微分方程式,令:

 


 


 

  則(1)式變成:

 


 

諧振子以駐波形式被束縛示意圖

【諧振子以駐波形式被束縛示意圖】

 

  在位勢能中,諧振子以駐波形式束縛振動。考慮邊界條件,當x趨近正負無限大時,表示波函數振幅趨近零,即能量→0,所以當(即),於是(2)式可近似成:

 


 

  於是我們嘗試得到一個特殊解:

 


 

  因此可令(2)式的一般解為:

 


 

  代入(2)式即為一Hermite方程式:

 


 

  由Hermite方程式的性質,當

 


 

  Hermite方程式才不會為無窮級數,諧振子波函數才能有解。代入

 


 


 

  最後可求得諧振子能量的量子化公式。當n為0時能量態最低,此即為「真空能量」:

 


 

  真空能量又稱為「零點能量」,乃真空的能量期望值,而此值其實不為零,成為「卡西米爾效應」的理論依據。

 


 

  還記得之前我們為了設想「真空場」的概念,於是做了量子化並約化最小能量單位的動作嗎?即為量子化的最小能量單位,所以真空能量的計算可轉換成:

 


 


 

  熟悉的格蘭迪級數又出現了!發展至此,這個級數竟然有個令人出乎意外的證明方式,進而讓「1+2+3+…+∞=-1/12」的「瘋狂結果」得以實現。它並非建立在嚴謹的數學上,而是得自於物理現象與量子力學的啟發,還得必須做到真正的「無限」加總,我們才能得到這個結果。

 


 

  不論加到多麼龐大的自然數,「1+2+3+…」絕對是發散到無限大,除非我們真的給他天荒地老實際加到∞,「-1/12」的結果才會出現。如果你真要問這個「瘋狂結果」到底是啥鬼?其背後的物理意義和無限大到底又是什麼?違背日常生活的想法與直覺,或許,他就是隱藏在奇妙大自然背後的一個神祕頑皮鬼吧……

 

 

 

 

 

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