一時瑜亮。微積分（上） @ 阿衡的探秘地圖

是誰發明微積分（Calculus）？

　　曾與當老師的朋友聊到微積分發展的歷史，名氣較大的牛頓（Isaac Newton；西元1643～1727年）發明微積分一般較廣為人知，但萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz；西元1646～1716年）對微積分也有非常深遠的影響與貢獻。牛頓和萊布尼茲為微積分的共同發明者已被今日學界所認定，不過他們卻是分別發展自己的微積分理論系統，兩人甚至為了「誰發明微積分」而一狀告上英國皇家學會。

萊布尼茲、牛頓

【萊布尼茲、牛頓】

　　西元1710年，萊布尼茲被指控抄襲牛頓的微積分研究，由於心胸狹窄的牛頓是英國皇家學會會長，調查結果當然可想而知。西元1713年，德國數學家萊布尼茲被判有罪，並認為牛頓才是微積分的第一發明人。

　　經過近代考證，雖然確認萊布尼茲的微積分是獨立發展出來的系統，但直到萊布尼茲去世後將近百年，他的微積分成就仍受到英國的冷漠對待，而牛頓與萊布尼茲的「誰發明微積分」之爭，更造成了英國與歐洲大陸科學界之間的決裂。英國沉醉於牛頓的微積分成就，執著於牛頓的極限觀念與古典幾何表示法，卻忽視了萊布尼茲的微積分符號與無窮小的想法，讓英國與歐洲大陸數學與物理的發展進步脫節。西元1813年，等到英國科學家逐漸夢醒，開始學習萊布尼茲的微積分時，英國的科學研究早就落後了歐洲大陸好一大截了。

　　不可否認，牛頓與萊布尼茲的微積分成就同樣偉大並影響後世深遠。雖然想法不同、貢獻各異，但他們都同樣表現了人類心智發展的高度結晶成果。其實微積分的概念，在牛頓和萊布尼茲之前就已經有了。從歷史角度來看，微積分理論的發展經過了長時期醞釀，才成為一門有系統的學問，並影響科學發展深遠。

積分（Integral），從積面開始

　　往前追溯約四千多年，埃及進入了農業時代，人民開始有土地丈量的需求，「面積問題」於是成為一門重要題目，而「圓形」面積的求法，更直接導致了積分概念的產生。因為圓周率π是無理數，當時人們只能用經驗取π的近似值來計算圓形的面積，直到西元前三世紀左右，希臘人阿基米德（Archimedes；西元前287～212年）以圓內接及外切正多邊形，以「窮盡法」重覆計算近似圓周長，到正96邊形時得π值介於～之間。

【阿基米德】

　　大約西元260年，中國人劉徽（三國時代魏國數學家，生卒年不詳）以正多邊形的面積逼近圓面積，算到3072邊形得π值為3.14159，而南北朝時期的祖沖之（西元429～500年）更來到正16384邊形，使π值精確到3.1415926～3.1415927之間，以當時沒有計算機、只能靠紙筆手算的時代，能得到這樣精準的結果實在很了不起。

【劉徽】

【祖沖之】

　　理論上，只要重覆「無限次」增加並計算正多邊形面積的步驟，就能算得真正的π值，也就能得到圓形的面積。在人類挑戰面積的過程中，以「無窮逼近」的觀念逐漸成形，成為積分理論的基礎。

【以圓內接或外切正多邊形逼近圓面積，其逼近原理為積分理論的基礎】

微分（Differential），從瞬間啟動

　　微分的發展則較積分晚，直到十七世紀，物理與天文學的進步，讓伽利略（Galileo Galilei；西元1564～1642年）與克卜勒（Johannes Kepler；西元1571～1630年）分別開始對落體運動、行星運動進行研究。為了觀察動態的世界，使得速度、加速度等「切線問題」成為探討物體運動的重要課題。